StochasticContr的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/StochasticContr

博文

关于鞅收敛定理

已有 8356 次阅读 2015-1-9 20:40 |系统分类:科研笔记

一致可积的妙处。起源是Vitali 定理,说的是一列随机变量依均值收敛 iff 它们是一致可积并且依概率收敛。显然,在有限测度空间下,这个定理给出了控制收敛定理的增强版本。 事实上,一致可积等价于一致绝对连续外加sup E[|X_t|]<∞.
在无限测度空间下,一致可积不能保证积分下的收敛性。所以,一致可积的概念在概率测度中极其有用。
鞅收敛定理分为两层次: 第一层次即在很自然的条件下,上下鞅的almost surely 收敛,困难点打包在Doob的上穿不等式,很强的直观意义。 第二层次在于鞅的依均值收敛,这个点其实就是实分析中控制收敛定理试图解决的问题,即积分与极限何时可以交换,只不过对象换成了鞅。在第二层次问题里,一致可积是充分必要条件,可见其重要性及其自然性。
另外,Doob/Levy martingale 给出了一致可积鞅的刻画,必须是Xn=E[Y| Gn]类型的鞅,其中Y是有限均值的。

关于reversed鞅,妙处在于均值有界的前提下,不需要其他条件就是一致可积的,并且依均值收敛。 用reversed martingale 的观点证明强大数定理极其的简洁漂亮。最早期的强大数定理的证明依赖Doob 极大值不等式,相对繁琐很多。   




https://wap.sciencenet.cn/blog-1213200-857882.html

上一篇:优化中起到关键作用的几个泛函分析结果
下一篇:关于前定和谐
收藏 IP: 76.185.106.*| 热度|

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2024-11-1 07:38

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部