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Helly' principle的一个泛函分析证明

已有 5215 次阅读 2015-1-4 17:17 |系统分类:科研笔记

泛函分析在概率论中的一大美妙应用:
概率理论中著名的Helly' principle: 实轴R上一列概率测度P_n必有子列弱收敛到一个测度μ,这个μ(R)≦1,可能严格小于1. 这个定理的重要性不需要说明,在统计学,计量经济学的前沿中有重要地位!
一个很有意思泛函分析的证明如下:
Step1: 点集拓扑中的Tikhonov
定理,说的是,如果S_t是紧空间,那么乘积空间 ∏_{t∈T}S_t也是紧空间,T是非空 index set。(众所周知,此定理证明依赖zorn lemma)。
Step2: 泛函分析中的Alaoglu定理,说的是,X是一个巴拿赫空间,其对偶空间的单位闭球在弱星拓扑下是紧的。(此定理证明依赖Tikhonov定理)这个定理本身在泛函分析中就非常重要,因为:连续函数在紧集上能取到极大极小值,另外,弱星拓扑是使得 函数族(这种函数把巴拿赫空间的对偶空间元素F 映射到<F,x>,即
F----><F,x>。每一个x,对应一个这样的函数)连续的最弱的拓扑。
Step 3: 分析中的Riesz定理,说的是,S是一个局部紧拓扑空间,C0(S)是其上的在无穷远处为零的连续函数的空间,那么,F是C0(S)上的线性泛函当且仅当存在S上的一个有限符号测度μ,使得,F x=∫s xdμ。并且,‖F‖等于μ的全变差。
此定理重要性不言而喻!!!
Step 4: S是一个紧拓扑空间,P_n是其上的一系列概率测度,由Step 3的Riesz定理,会有一系列C(S)上的线性泛函F_n与P_n对应, 并且‖F_n‖≦1。再由Step2的Alaoglu定理(此时该定理中的巴拿赫空间X是C(S)),F_n序列中会有子列收敛(弱星拓扑下的弱星收敛)到C(S)上的一个线性泛函(此处就是紧的妙处),令其为F,并且‖F‖≦1,F(1_S)=1。再根据Riesz定理,有一个S上的概率测度P与F对应。综上,我们证明了,紧拓扑空间S上的一族概率测度,必有一列收敛(此处是弱收敛)到S上的一个概率测度。
Step5: 回到Helly' principle陈述: 实轴R上一列概率测度P_n必有子列弱收敛到一个测度μ,这个μ(R)≦1,可能严格小于1.
为何这里μ(R)可能严格小于1,仔细观察会发现,问题在于R不是紧拓扑空间,而是局部紧拓扑空间,所以与之对应的Riesz定理中的C0(S)就是C0(R),即在无穷远处为零的连续函数空间,注意到step 4中的常函数1_S(即1_R)不属于C0(R)。
点集拓扑中我们知道,对于一个局部紧拓扑空间,我们可以用one-point compactification的技术在原空间上加一个点再附加合适的开集定义,可以把原来的局部紧拓扑空间变为紧拓扑空间,用这种办法处理一下R, 变为R*,它是一个紧拓扑空间。
在这个想法的诱导下,我们可以把P_n看成R*上的概率测度,根据step4,P_n中有子列弱收敛到R*上的一个概率测度μ,显然μ(R*)=1。R*比R多一个点,在那个点上很可能有probability mass, 所以μ(R)可能严格小于1。
至此,用泛函分析的观点完全说明了著名的Helly' principle。



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