复杂混沌电路网络中集团同步的实验研究

同步是耦合非线性复杂系统中普遍存在的一种集体动力学行为，其相关研究能够为很多实际复杂系统的功能和性能的分析提供理论支持[1]。近年来，受复杂网络研究的推动，人们对复杂网络系统中的同步问题进行了深入的分析，并在此过程中发现了网络结构对同步行为的重要影响[2]。 

目前复杂网络同步研究主要关注网络结构对整体同步（global synchronization）的影响，而对于另外一类与实际系统功能密切相关的同步形态，集团同步（cluster synchronization），的研究甚少涉及[3-5]。集团同步的特征在于系统中的振子在中等耦合强度的条件下能够自发的形成不同的同步集团：同一集团内部的振子之间达到完全同步，而不同集团之间则不同步。理论方面，集团同步是研究同步过渡过程的关键，同时也是刻画复杂非线性系统高阶分岔和时空斑图行为的重要途径;应用方面，同步集团研究对于基础设施网络的安全性分析和复杂神经系统的认知行为均提供直接支持[1]。 

以规则网络上的同步研究揭示，集团同步的形成源于系统动力学的自发性对称破缺[1]。由于复杂网络在结构上已存在破缺，故长期以来人们普遍认为复杂网络中不会存在集团同步。然而，反观现实复杂网络系统，譬如神经网络，其上不仅存在稳定的动力学斑图，同时这些斑图均具有明确的功能对应。理论和现实之间的冲突产生了如下悖论：复杂网络中到底是否存在同步斑图？ 

针对上述问题，近年来人们对复杂网络中的集团同步行为进行了一系列理论研究[6-11]，其中一个重要的发现是如果网络中的部分节点之间存在置换对称性，那么这部分节点就有可能形成一个同步集团。同时，为了分析该类同步集团的稳定性，人们也发展了一套基于模空间正交分解的主方程方法[4,8,10]。根据该套理论，同步集团形成的一个重要的条件是网络结构存在严格的对称性。显然，由于参数失配和环境干扰等因素的存在，实际复杂网络中不可能存在严格的结构对称性。故此，能否在实验中观测到复杂网络上的集团同步行为就成为大家普遍关心的一个问题[6-10]。 

近期，陕西师范大学的王新刚及其研究小组利用耦合混沌电路[12]，在复杂网络上观测到稳定的集团同步行为，并通过删除网络链接的方法实现了集团同步的拓扑控制。实验采用了五个节点的非规则网络作为研究对象，节点的动力学行为采用混沌Hindmarsh-Rose电路来实现 [图1 (a)]，节点之间通过电突出方式进行耦合。由于节点电路之间存在5%的参数失配且耦合通道受噪声影响，整个系统不存在严格意义上的对称性。通过调整耦合强度，实验中首先实现了网络整体同步。然后，通过分别删除一条长程链接，观测系统的动力学响应。实验发现，当某条特定的链接被删除后，系统的整体同步行为被破坏，取而代之的是系统中的五个混沌节点自发组成了两个同步集团（每个集团包括两个节点），即产生了稳定的集团同步状态 [图1 (b-d)]。

图1 (a) 实验中采用的五节点电路网络结构示意图。删除节点1和3之间的链接后，网络结构满足S₂反射对称性。(b) 实验中观测到的节点1和5上的电压，二者达到完全同步。子图中显示的是节点2和4之间的电压，二者也达到了完全同步。(c) 节点1和2之间的电压关系图，二者未达到同步。(d) 节点1和3之间的电压关系图，二者未达到同步。

通过对链接删除前后网络的拓扑结构进行分析，发现同步集团的出现源自网络对称性的变化。特定的链接被删除后，网络结构从一种对称性变为另外一种对称性。而不同的对称性具有不同的稳定性。基于此发现，研究中进一步利用模空间正交分解方法对集团同步的空间分布和产生条件进行了理论分析，不仅找到了系统中所有可能出现的集团同步态，同时定量的给出各集团同步态的稳定参数区间且理论结果与实验结果能够很好的符合[12]。 

该研究从实验上证实了复杂结构网络中集团同步态的存在，为进一步研究大尺寸复杂系统上的同步斑图动力学行为提供了一个有力支持。此外，研究中采用的通过改变网络中单条链接来实现集团同步的思路也为实际复杂系统动力学调控提供了一个新的思路。目前，该研究小组正在搭建更大尺寸（N~20）的复杂电路网络，尝试对复杂系统中的高阶集团同步行为进行实验和理论上的研究。 

References

[1]  S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, and J. Kurths, Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science, Cambridge: Cambridge University Press, 2001

[2]  ?A. Arenas, A. Diaz-Guilera, J. Kurths, Y. Moreno, and C. S. Zhou, Synchronization in complex networks, Phys. Rep. 469(3), 93 (2008) ?

[3]  Y. Zhang, G. Hu, H. A. Cerdeira, S. Chen, T. Braun, and Y. Yao, Partial synchronization and spontaneous spatial ordering in coupled chaotic systems, Phys. Rev. E 63(2), 026211 (2001) ?

[4]  B. Ao and Z. G. Zheng, Partial synchronization on complex networks, Europhys. Lett. 74(2), 229 (2006) ?

[5]  J. Zhang, Y. Yu, and X. G. Wang, Synchronization of coupled metronomes on two layers, Front. Phys. 12(6), 120508 (2017) ?

[6]  C. Fu, Z. Deng, L. Huang, and X. G. Wang, Topological control of synchronous patterns in systems of networked chaotic oscillators, Phys. Rev. E 87(3), 032909 (2013)

[7]  C. Fu, W. Lin, L. Huang, and X. G. Wang, Synchronization transition in networked chaotic oscillators: The viewpoint from partial synchronization, Phys. Rev. E 89(5), 052908 (2014)

[8]  L. M. Pecora, F. Sorrentino, A. M. Hagerstrom, T. E. Murphy, and R. Roy, Cluster synchronization and isolated desynchronization in complex networks with symmetries, Nat. Commun. 5, 4079 (2014) ?

[9]  F. Sorrentino, L. M. Pecora, A. M. Hagerstrom, T. E. Murphy, and R. Roy, Complete characterization of stability of cluster synchronization in complex dynamical networks, Sci. Adv. 2(4), e1501737 (2016) ?

[10]  W. Lin, H. Fan, Y. Wang, H. Ying, and X. G. Wang, Controlling synchronous patterns in complex networks, Phys. Rev. E 93(4), 042209 (2016)

[11]  W. Lin, H. Li, H. Ying, and X. G. Wang, Inducing isolated-desynchronization states in complex network of coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. E 94(6), 062303 (2016)

[12]  B. Cao, Y. Wang, L. Wang, Y. Yu, and X. G. Wang, Cluster synchronization in complex network of coupled chaotic circuits: An experimental study, Front. Phys. 13(5), 130505 (2018)

全文文献链接：

B. Cao, Y. Wang, L. Wang, Y. Yu, and X. G. Wang, Cluster synchronization in complex network of coupled chaotic circuits: An experimental study, Front. Phys. 13(5), 130505 (2018)