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[请教，讨论，笔记] 柯西：函数不一定要有解析表达式。（关联：分布参数系统 distributed parameter

2024-6-25 22:49

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[请教，讨论，笔记] 柯西：函数不一定要有解析表达式。（关联：分布参数系统 distributed parameter system）

柯西： Augustin-Louis, Baron Cauchy, 1789-08-21 ~ 1857-05-23, 67

分布参数系统： distributed parameter system

数学函数： mathematical function

Augustin Louis Cauchy 11 SIL-SIL14-C2-02_裁剪_小.jpg

柯西 Augustin-Louis, Baron Cauchy, 1789-08-21 ~ 1857-05-23, 67

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https://library.si.edu/image-gallery/73509

一、柯西：函数不一定要有解析表达式

根据胡作玄老师的《第三次数学危机》：

一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。

波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。

在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。

十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。

同时，威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。

二、“分布参数系统/distributed parameter system”里变量（场）的计算，咋算？

（1） 2022-01-20，电磁场泛函法/functional method for electromagnetic field/章文勋，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=94405&Type=bkzyb&SubID=100472

以泛函方程为电磁场问题数学模型的各种近似解法。其区别于以函数方程为数学模型的各种经典的严格解法或近似解法。

（2） 2023-02-28，分布参数系统/distributed parameter system/郭宝珠，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=322793&Type=bkzyb&SubID=168817

系统变量与参数是空间位置的函数，系统方程通常为偏微分方程的系统。

自然科学在科学原理的层次上发现了几十个支配自然规律的方程。由于不仅描述时间演化，也描述物体在空间演化的原因，其中的很多方程是偏微分方程。典型如流体力学中的纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equation）；量子力学的薛定谔方程（Schrödinger equation）；电磁学中的麦克斯韦方程（Maxwell equation）；描述声波传播的波动方程；连续体力学中的振动方程；结构力学中的振动梁、振动薄板、振动薄壳等的方程；固体力学中的振动方程等。当需要研究人为操纵由这些方程描述的系统的问题时，就是分布参数控制需要考虑的问题。

（3） 2024-03-01，分布参数系统/distributed parameter system/毕大川，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=188145&Type=bkzyb&SubID=91665

状态变化不能只用有限个参数而必须用场（一维或多维空间变量的函数）来描述的系统。

分布参数系统的典型实例有电磁场、引力场、温度场等物理场，弹性梁型的运动体，大型加热炉，水轮机和汽轮机，化学反应器中的物质分布状态，长导线中的电压和电流等控制对象，环境系统（如污染物在一区域内的分布），生态系统（如物种的空间分布），社会系统（如人口密度分布）等。此外，若运动过程包含因在某种场内传递而造成的时滞，则这种时滞系统也属于分布参数系统。分布参数系统广泛应用于热工、化工、导弹、航天、航空、核裂、聚变等工程系统，以及生态系统、环境系统、社会系统等。

（4） 2022-12-23，分布参数系统仿真/simulation of distributed parameter systems/徐胜元，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=537440&Type=bkzyb&SubID=118856

采用模拟计算机来对这类系统进行仿真的方法包括特征线法、分离变量法、线上求解法和有限差分法等。这些方法主要将对偏微分方程的求解化成对常微分方程的求解。

（5）2023-02-09，分布参数系统的稳定性/distributed parameter system stability/郭宝珠，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=322843&Type=bkzyb&SubID=118724

分布参数系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回复到原平衡状态的性能。

分布参数系统主要研究状态空间的维数为无穷的系统的控制。这些系统主要由偏微分方程、泛函微分方程、积分微分方程、积分方程，巴拿赫空间或希尔伯特空间中的抽象微分方程所描述。

此外还有流体力学中的纳维-斯托克斯方程；量子力学的薛定谔方程；电磁学中的麦克斯韦方程等都是分布参数系统控制研究的对象。

参考资料：

[1] 2023-02-25，函数/function/李忠，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=111680&Type=bkzyb&SubID=99583

一个变量与另外一个或几个变量的一种确定的依赖关系。数学的基础概念之一。

起初人们把函数与常见的表达式联系在一起，认为那种由人们常见的表达式所决定的变量之间的关系才是函数。19世纪30年代，P.G.L.狄利克雷首次给出了函数的一般定义。

函数本质上是数集（见集合）之间的一种对应（或称为映射）。

[2] 2022-12-23，数学函数/mathematical function/牟晨琪，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=316504&Type=bkzyb&SubID=81658

[3] 2023-08-08，泛函分析/functional analysis/葛力明，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=79928&Type=bkzyb&SubID=61737

研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的分析学分支学科。

现代泛函分析的主要对象也从经典的函数空间（及其推广）演变为带代数、拓扑等结构的非交换空间（或量子化的空间）和它们之间或内部的映射的研究。

[4] 2023-04-05，泛函的变分/variation of functional/徐胜元，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=537593&Type=bkzyb&SubID=118855

研究泛函中函数微分的概念，是函数的微分概念的推广。

[5] 2023-04-27，统计泛函/statistical functional/柏杨，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=287971&Type=bkzyb&SubID=59849

[6] 2023-04-12，轨道泛函/orbital-dependent functional/刘文剑，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=229067&Type=bkzyb&SubID=149221

[7] 2024-05-21，密度泛函理论/density functional theory; DFT/刘小飞，郭万林，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

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[8] 2022-01-20，电磁场泛函法/functional method for electromagnetic field/章文勋，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=94405&Type=bkzyb&SubID=100472

以泛函方程为电磁场问题数学模型的各种近似解法。其区别于以函数方程为数学模型的各种经典的严格解法或近似解法。

[9] 2022-01-20，内涵和外延/intension and extension/苏天辅，诸葛殷同，杜国平，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

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[10] 2023-08-24，电磁场/electromagnetic field/仲佰，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

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[11] 2024-01-13，电磁场数值计算/numerical computation of electromagnetic field/于歆杰，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

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[12] 2023-02-28，分布参数系统/distributed parameter system/郭宝珠，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=322793&Type=bkzyb&SubID=168817

系统变量与参数是空间位置的函数，系统方程通常为偏微分方程的系统。

自然科学在科学原理的层次上发现了几十个支配自然规律的方程。由于不仅描述时间演化，也描述物体在空间演化的原因，其中的很多方程是偏微分方程。典型如流体力学中的纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equation）；量子力学的薛定谔方程（Schrödinger equation）；电磁学中的麦克斯韦方程（Maxwell equation）；描述声波传播的波动方程；连续体力学中的振动方程；结构力学中的振动梁、振动薄板、振动薄壳等的方程；固体力学中的振动方程等。当需要研究人为操纵由这些方程描述的系统的问题时，就是分布参数控制需要考虑的问题。

[13] 2024-03-01，分布参数系统/distributed parameter system/毕大川，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=188145&Type=bkzyb&SubID=91665

状态变化不能只用有限个参数而必须用场（一维或多维空间变量的函数）来描述的系统。

分布参数系统的典型实例有电磁场、引力场、温度场等物理场，弹性梁型的运动体，大型加热炉，水轮机和汽轮机，化学反应器中的物质分布状态，长导线中的电压和电流等控制对象，环境系统（如污染物在一区域内的分布），生态系统（如物种的空间分布），社会系统（如人口密度分布）等。此外，若运动过程包含因在某种场内传递而造成的时滞，则这种时滞系统也属于分布参数系统。分布参数系统广泛应用于热工、化工、导弹、航天、航空、核裂、聚变等工程系统，以及生态系统、环境系统、社会系统等。

[14] 2022-12-23，分布参数系统仿真/simulation of distributed parameter systems/徐胜元，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=537440&Type=bkzyb&SubID=118856

[15] 2023-02-09，分布参数系统的稳定性/distributed parameter system stability/郭宝珠，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=322843&Type=bkzyb&SubID=118724

分布参数系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回复到原平衡状态的性能。

此外还有流体力学中的纳维-斯托克斯方程；量子力学的薛定谔方程；电磁学中的麦克斯韦方程等都是分布参数系统控制研究的对象。

[16] 2022-12-23，连续系统/continuous system/王广雄撰吗，肖兵修订，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=322027&Type=bkzyb&SubID=167911

所有变量在时间和空间上都连续变化的系统。又称连续时间系统（continuous-time system）。

由常微分方程描述的连续系统属于集中参数系统，由偏微分方程描述的连续系统属于分布参数系统；由线性微分方程描述的连续系统属于线性系统，由非线性微分方程描述的连续系统属于非线性系统；系数不随时间变化常数的微分方程描述的连续系统属于定常系统，系数随时间变化的微分方程描述的连续系统属于时变系统。

传递函数、权函数（脉冲过渡函数）和状态空间模型也是描述连续系统动态过程的常用模型。微分方程、传递函数和权函数等三种模型都只描述系统的输入输出之间的关系，称为外部模型；状态空间模型能够描述系统的内部状态变量，便于对系统进行计算机仿真。

[17] 2022-01-20，连续系统/continuous system/杨克巍，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=268850&Type=bkzyb&SubID=152660

连续系统包括集中参数系统和分布参数系统，常微分方程通常用来描述集中参数系统，主要表现为以时间为参数为自变量的系统，这类系统如各种电路、动力学及种群生态系统。偏微分方程通常用来描述分布参数系统，主要表现为具有多个自变量的系统，这类系统如物理中的场问题、流体系统和工程中的对流扩散系统等。

[18] 2022-01-20，连续系统仿真/continuous system simulation/姚新宇，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=58605&Type=bkzyb&SubID=63123

主要集中在微分方程（组）、偏微分方程（组）模型的离散化方面，包括数值积分法、离散相似法、替换法和根匹配法等。其中数值积分和离散相似法应用比较普遍。数值积分法中又包括单步法（如Runge-Kutta法）和多步法（如AB法和AM法），针对一些刚性的系统还可以采用吉尔积分方法。

[19] 2022-12-23，连续系统仿真/continuous system simulation/孙永强，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=560580&Type=bkzyb&SubID=237976

仿真模型的实现即将仿真模型转换成计算机可执行程序，该程序在计算机上运行的过程就是真实系统的模拟或再现过程。此时，改变输入参数进行模拟实验，对实验结果进行分析从而认识真实系统的行为过程和关键特征。

[20] 2024-06-21，变分方法/variational method/李家春，黄鸿慈，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=125454&Type=bkzyb&SubID=42415

[21] 2022-12-24，波函数理论/wave function theory; WFT/李伟，黎书华，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=228763&Type=bkzyb&SubID=149221

分子体系的量子力学计算一般有三类：半经验方法、波函数理论、密度泛函理论。

[22] 2023-01-17，能带论/band theory/冯济，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=56702&Type=bkzyb&SubID=80452

[23] 2023-02-23，导带/conduction band/姜兴兴，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=257886&Type=bkzyb&SubID=121384

[24] 2022-12-24，电子能带结构/electronic band structure/蒋鸿，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=229494&Type=bkzyb&SubID=149221

[25] 2024-04-13，电子结构理论/electronic structure theory/张文华，李震宇，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=229493&Type=bkzyb&SubID=149221

[26] 2023-04-19，佩雷尔曼，G.Y. /Perelman,Grigori Yakovlevich/李心灿，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=198957&Type=bkzyb&SubID=61734

庞加莱猜想是一个纯粹拓扑问题，而佩雷尔曼却用分析学给出了突破性的证明，这对数学的发展有深远的影响。他的证明使微分几何、代数拓扑和弦理论迎来了一个新时代，并进一步说明了“数学的统一是现代数学的趋势”。美国数学家、斯坦福大学数学系主任伊莱希伯格认为佩雷尔曼关于庞加莱猜想的证明和A.维尔斯关于费马猜想的证明，以及P.J.科恩对连续统假设的解决，将作为过去50年数学界的最高成就为人们所铭记。

相关链接：

[1] 2024-06-22，[同行评议] 我比柯西（Augustin-Louis Cauchy）老师更忙，但我尽力审稿

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1439316.html

[2] 2024-06-24，[请教，讨论] 奥斯特、法拉第、密立根：实验之前能预估结果吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1439574.html

[3] 2024-06-21，[重复，原创，悲恸] “我不会建议别人做原始创新性的工作”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1439203.html

[4] 2024-06-19，[原创，优先权] 现场式研究模式

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1438900.html

[5] 2024-06-18，[汇报，讨论] 傻，你为什么不亲自研制“半电路、半电磁场”电路？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1438747.html

[6] 2024-05-14，[请教，讨论] 电磁学的实验再检验（12）：为什么要“最直接”地再测量？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434112.html

[7] 2024-05-19，[羡慕，讨论，物理] 仅推公式就能得到成果的人

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434748.html

[8] 2024-05-21，[请教，讨论] 电磁学的实验再检验（13）：判定实验原理（1）：磁感应强度 B 是矢量吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1435062.html

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1435208.html

（1）“电磁学的实验再检验”，目前大体上类似拉姆齐(Sir William Ramsay, 1852-10-02 ~ 1916-07-23)发现惰性气体（noble gases）“neon, argon, krypton, xenon, 氖、氩、氪、氙”；又像密立根油滴实验（Millikan's oil-drop experiment），似乎没有什么其它可以参照的直接知识。因为处在真正的原初的“原始创新”阶段，真正的“源头和底层”。

（2）哥白尼、达尔文，当初也是类似这种原初的“没有什么其它可以参照的直接知识”情况吧？

牛顿、爱因斯坦，都是捡了大便宜的幸运儿！

牛顿有伽利略、开普勒等人的相对充分的基础；

爱因斯坦有“斐索实验 Fizeau experiment”等，

所以，牛顿、爱因斯坦，以及麦克斯韦，门捷列夫等都是“集大成”式的大综合。哥白尼、达尔文、开普勒，才是现在常说的真正原初的“0到1”。

当然，也可以认为牛顿力学、爱因斯坦的相对论、麦克斯韦经典电磁理论、门捷列夫的化学元素周期表，也是另一种“集大成”方式的“0到1”。

[9] 2024-06-16，[请教，讨论] 电磁学的实验再检验（15）：光压与“电磁波的刚性”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1438456.html

现在，“被”处在类似法拉第在1831年、安培在1825年、毕奥和萨伐尔在1820年前后的处境。所关心的内容，实在没有什么可以直接参考的前人结果，无论是理论的还是实验的。俺们这些都是真正的原初“0到1”创新！

麦克斯韦老师真幸运！在家里推推公式，就完成了集大成“0到1”创新：麦克斯韦方程组。

[10] 2023-07-27，[阶段小总结，要点，小结] “电磁学的实验再检验”相关博文要点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1396886.html