刘钢
从布尔到辛顿(三)
2021-8-5 10:51
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随着研究的深入发现,布尔代数还可以从结构数学的格论切入。所谓格论就是对格的对象集合的研究,是布尔代数的一种拓展,属于结构数学的分支,其所提供的框架可以将数学中的类或有序集统一起来。美国数学家伯克霍夫(George D. Birkhoff,1911—1996)于1940年出版了《格论》一书,并大力倡导进行格论的研究,使其得到迅速发展。格论在众多领域都有着重要的应用,如代数、分析、拓扑、逻辑、计算机科学、组合数学、线性代数、几何学、范畴论、概率论等。

 

 

施罗德于19世纪末,在其《逻辑代数讲演集》中首先发现了格。后来德国数学家戴德金(Richard Dedekind,1831—1916)于1900年在研究对偶集时也发现了格。他们分别从数理逻辑(结构数学)和数论(点态数学)这二个方向对格进行研究,但成效都不大,未引起其他同行的注意。就连范德瓦尔登(Van der Waerden,1903—1996)于1930—1931年出版的两卷本《近世代数学》亦无格论的内容。直至 20世纪30年代,在美国数学家伯克霍夫的努力下,格论才成为结构数学中的一门独立学科。

 

格论是研究序结构的,既可以从偏序集理解也可以从代数系统理解。设<P, ≤>是一个偏序集,对P中任意元素x和y,{x,y}组成的集合都有最大下界和最小上界,则<P, ≤>称为格。对具有两个二元计算的代数系统<S, *, +>,如果+(和)满足交换律,结合律,吸收律(但是不一定要对+满足分配率),那么这个代数系统构成一个格。

 

所谓格就是⼀种特殊的偏序集,先构成分配格,再经处理后可以得布尔代数,也叫布尔格或有补分配格。它是序结构的主体部分,在许多数学对象中,所考虑的元素之间具有某种顺序⽽是在部分元素之间的⼀种顺序即偏序。偏序集和格就是研究顺序的性质及作⽤⽽产⽣的概念和理论。具体地说,格是其⾮空有限⼦集都有⼀个上确界( 称为“并”) 和⼀个下确界(称为“交”) 的偏序集合,它的公理增减之后可得到全序集及偏序集。

 

格论既然是研究序结构的,那肯定与中国有很大关系。邵雍先天易图是⽤来表示抽象顺序关系的符号体系,这⼀点已取得了完全的共识。莱布尼茨通过与当年来华传教士白晋(Jochim Bouvet, 1656—1730)的通信。在通信中莱布尼茨说他发明了二进制算术,可白晋告诫他说,中国人早就发明了。随后将邵雍的伏羲八卦方圆图寄给莱布尼茨。于是莱布尼茨便写成关于二进制算术的文章发表。我认为,莱布尼茨最伟大的贡献就是他将坤卦写成阿拉伯数字0,把乾卦写成1。中国的易图是图形,根本就不是数字。莱布尼茨却创造性地对易图进行解读,这是非常了不起的贡献。

 

那么图形和数字是否可以转换?当然可以。华罗庚曾赞美:“数与形,本是相倚依,焉能分作二边飞。数无形时少直觉,形少数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事休。切莫忘,几何代数流一体,永远联系莫分离。”易图与数字的转换不那么简单。要从结构主义方法论上着手才行。否则简单的把坤卦写成0,把乾卦写成1,似乎难以服众。到现在易学界也没承认,0和1能代表卦画啊!我国到上个世纪初还没普及阿拉伯数字呢。卦爻是从下往上读,二进制算术是从左往右写。完全二回事,从学理上不能如此鲁莽。

 

结构在数学里占据中心位置,起初,数学是研究数和几何形状的学科,然而,数学的发展改变了它的本质,数学变成了研究数学结构的学科。自20世纪在法国兴起的布尔巴基学派(Bourbaki)认为,纯数学就是对纯结构的研究,而非其他。结构主义创始人为法国语言学家索绪尔。他的《普通语言学教程》,被视为结构主义的肇始。作为一种方法论,其溢出效应也影响了法国数学界的布尔巴基学派。布尔巴基学派是20世纪法国兴起的一个独特的数学学派。布尔巴基学派把数学重整为一个“母结构”,其中又分为序结构、代数结构和拓扑结构。经过他们的仔细探究,认为“结构”才是抽象集合的基础。数学被就可分别归入这三种结构中。这样就超越了旧数学 “数”与“形”分离的藩篱。

 

莱布尼茨的研究毕竟是纯粹的数学研究。可是他的研究确实与现代信息技术和计算机科学无关。那么如何超越莱布尼茨直接将先天图和布尔代数在数学之间建立起联系,是我所做的工作之一。北宋的易学有个大的“范式转移”,也就是说,以邵雍为首的先天易学取代了以前的后天易学。尤其是在卦序上有很大的变动和创新。莱布尼茨就是看到邵雍的先天易图才创建了二进制算术的。从格论出发,根据邵雍的先天八卦能够建立布尔代数。所以将布尔代数与中国文化搭上桥梁,才是目的。



格论的一个重要工具就是哈斯图(Hasse Diagram)。具体来说,根据先天易图,先画出两仪图。阴在下,阳在上。在进一步画出四象图,这是一个菱形图,由老阴、老阳、少阴、少阳构成。第三画出八卦图,乾、震、坎、艮、兑、离、巽、坤。《易经》的“……易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦……”。从格论的角度看,它们都可以用哈斯图表示为偏序集。尤其是八卦图,就是格论中的布尔格,而布尔格在格论中属于有补分配格。那么有补分配格就是布尔代数。二元运算中,如果格<L,∧,∨,0,1>是有补的分配格,则称L是布尔格。最常见的是把它们当作一般化的真值。假设有三个条件是独立为真或为假。布尔代数的元素可以接着精确指定哪些为真;那么布尔代数自身将是所有八种可能性的一个搜集,和与之在一起的组合它们的方式。


综上所述,以格论为桥梁,我发现邵雍的先天易图与布尔代数之间存在同构性。据此,邵雍-莱布尼茨-布尔(SLB)纲领便得以确立。把计算机运算的布尔代数收摄到邵雍的先天易图上来,让本来与中国无关的布尔代数有了中国根并形成计算与信息哲学的中国学派。

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