刘钢
从布尔到辛顿(二)
2021-8-1 11:21
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德·摩根曾说,数学家和逻辑学家并不是太关心对方的专业,因为它们都是精密科学的两只眼睛,但是数学家对逻辑视而不见,逻辑学家对数学熟视无睹。双方都认为自己只用一只眼比用两只眼看得更清楚。德·摩根的话的意思说白了就是数学和逻辑互不服气,井水不犯河水即可。可是布尔却不这么看,非要把数学和逻辑结合起来,他不仅冒犯了数学家也惹恼了逻辑学家,动了双方的奶酪。大家对他群起而攻之,也就不足为奇了。布尔或许觉得这事有点儿麻烦,所以自从他出版了《思维规律的研究》一书后,就再未涉足这方面的内容了。


 二、


 《思维规律的研究》是布尔的重要著作,但它只是个“原型”(prototype),并不成熟。虽开风气之先,却也漏洞百出,需要后人不断完善和拓展。这与香农(Claude E. Shannon,1916—2001)的《通信的数学理论》不同,该文自呱呱坠地起,就是一个完备的理论,后人几乎没有置喙的可能。由于布尔代数在数学上本事就有问题,可它的确又是新的课题,给数学家和逻辑学家都提出了新的问题。大家也都希望按照布尔指定的方向走下去,万一能走出新道路呢?

 

第一位对布尔工作进行改进的人是英国逻辑学家耶方斯(William S. Jevons,1835—1882)。他纠正了布尔书中的错误,并于1864年他出版了一本小书,名字是《纯逻辑,或数与量之间的逻辑》,其基础是布尔的逻辑体系,但摒除了他认为错误的数学外衣。1866年他发现了伟大且普遍的推理法则,并于1869年以《同类替代》为题描述了这个学说,最简单的格式是:“同类必有同质”,他还有其他的各样表达。这部书里他对早期的纯逻辑和同类替代作了具体的表述,还发展了归纳是演绎的简单反转的观点。但是,耶方斯改进的布尔逻辑依然有问题,


耶方斯(1835—1882


《同类替代》封面


维恩(John Venn,1834—1923)亦曾澄清了《思维规律的研究》中一些含混的概念。并于1881年出版了《符号逻辑》一书。该书提出了“维恩图”(Venn Diagram)的概念即将布尔代数系统解释并发展了几何表示的方法。他作出一系列简单闭曲线(圆或更复杂的形式),将平面分为许多间隔,利用这种图表,维恩阐明瞭演绎推理的基本原理。为了进一步明确起见,他还引入了一些数学难题作为实例。维恩图简单明了,多少年来一直用于教授数学和逻辑以及展示群与概念之间的关系。


维恩(1834—1923)

维恩图


布尔是英国人,他当年并不知道莱布尼茨的工作,所以莱布尼茨的工作虽然比布尔的要早150年的样子,但布尔还是被认为是正统。莱布尼茨生前有个梦想,就是寻求一种普遍符号语言也称“普遍语言”,是莱布尼茨的一个方案,该方案为了克服自然语言的缺陷,为了更准确有效地描述理性思想,提出了一个符号体系,或者说,一套人工语言。莱布尼茨认为它是一个通用的书写体系,一个“人类思想的字母表”。通过对该字母表中的字母的结合,通过对这些字母造出的词的分析,我们就可以发现和判断一切事情。为了在不同语言中进行交流而建立一个普遍语言并不是一个新思想,只是莱布尼茨试图将这样一个语言概念推广开来,以形成一种发现术和判断术。他相信,如果这件事真能成功,那将是最伟大的发明之一。

 

对于这一方案的范围、性质和意义,学者中有许多争论。一种看法是,莱布尼茨打算使普遍符号语言成为理想语言的一个类型,一个由能以符号表达思想内容的“真正文字”构成的语言。根据这种看法,这个语言是现代一些分析哲学家提出的理想语言的前驱。另一种看法是,这个方案只与理性思想的形式有关,与内容无关。它是为普遍的形式科学,为表达概念和命题的逻辑关系而制定的一个规划。根据这种看法,普遍语言是现代符号逻辑的先导。还有一种看法是,莱布尼茨的思想有一个发展过程,开始他有一个宏大规则,要构造一个内容表述体系,后来这个规划缩小为只与逻辑推理的形式相关。

 

在莱布尼茨那个时代,教会经院哲学所尊崇的亚里士多德的逻辑势力太大,莱布尼茨新想法出来后,他总是先从自己身上找错误。从现在莱布尼茨档案馆的资料中可以发现大量的关于他自己的一些逻辑学的构想。不久前德国学者伦曾(Victor F. Lenzen)就在一篇名《知识与真理的一般探究》的手稿中发现,莱布尼茨已经完成了所谓的“概念语言”的建构。经过仔细分析研究,它就是布尔逻辑,可以这样说,莱布尼茨早于布尔150年就发明了布尔逻辑。

 

德国逻辑学家施罗德(Enerst Schröder,1841—1902)对布尔的工作很是欣赏,由于布尔的工作需要进一步改进,他可以说倾毕生精力致力于布尔的工作。后来终于将其打磨成功。美国的皮尔士(Charles Sanders Peirce,1839—1914)由于独立于欧洲大陆和英国,但对布尔的工作也做了类似改进工作。布尔开创下来的工作形成所谓的布尔-施罗德-皮尔士路线(BSP)。而施罗德认为这才是莱布尼茨所追求的工作。可是到了1879年德国的逻辑学家弗雷格(Gottlob Frege, 1848—1925)写了一本《概念文字》(Begriffsschrift)的小书。该书可以说是划时代的,是数理逻辑的奠基之作。弗雷格的《概念文字》有一长长的副标题:“一种按算术语言构成的纯思维的符号语言”。弗雷格自然知道布尔的工作,为了将自己的《概念文字》与其区分开来,他将布尔的工作称为“抽象代数”(abstract algebra)。当弗雷格的第二部专著即将付梓之际,他收到英国逻辑学家罗素的信。信中提出著名的“罗素悖论”,这是弗雷格著作中的致命伤,导致了所谓的“第三次数学危机”。

 

施罗德也认为弗雷格的工作偏离了布尔路线,他们之间有一场著名的论辩。施罗德认为,《概念文字》实为“推理演算”。弗雷格不同意施罗德的观点,认为他的《概念文字》是实现了莱布尼茨的普遍语言的梦想。并非像施罗德所言仅仅是推理演算,至少不仅仅是推理演算。由于施罗德的名气,以及弗雷格书中所用的符号怪诞,也就没有推广开来。罗素是舍弃了弗雷格的符号,采用了意大利逻辑学家皮亚诺(Giuseppe Peano,1858—1932)的符号体系与怀特海(Alfred N. Whitehead, 1861—1947)写出三大卷的《数学原理》(MP),这是数理逻辑的另外一条路线,即弗雷格-皮亚诺-罗素路线(FPR)。

 

逻辑史学家刘易斯(Clarence I. Lewis, 1883—1964)认为,19世纪是现代逻辑蓬勃发展的时期,围绕着亚里士多德的逻辑,存在这有二条路线,一条是布尔的逻辑代数学派,试图将代数延伸到逻辑学以拓宽逻辑学的视野;一条是以弗雷格为代表的逻辑主义路线,强调数学基础和公理化思想,对亚里士多德几乎完全持否定态度。前者主要继承了莱布尼茨“普遍语言”的设想,可以“符号逻辑”概括其特征。后者主要继承了莱布尼茨理性演算的构想,可以概括为“数理逻辑”或“逻辑斯蒂”。按人物来区分,布尔、施罗德、皮尔士为主要代表形成逻辑代数传统,后者以弗雷格、皮亚诺、罗素为代表形成数理逻辑传统。形成了BPS对标FPR的对峙局面。从这个意义讲,施罗德对弗雷格的批评大致还是正确的。

 

总之,在19世纪末,BPS占上风,在20世纪初,FPR成为主流。到了20世纪中叶以后BPS彻底胜利,这是因为布尔代数被香农成功运用与电路设计以及冯诺依曼架构也同样采用了布尔代数的缘故。而BPS则被美国后现代主义哲学家罗蒂(Richard Rorty,1931—2007)总结为“语言转向”开辟了分析哲学的一爿天地。布尔逻辑由于不成熟而且没有具体的应用而受到冷落。后来罗素在其《数学原理》中提到,布尔的工作属于纯数学,这才引起人们重新审视布尔的工作。

 

1937年美国贝尔实验室的香农将布尔代数成功地用于电路设计,这才使其大放异彩,成为信息时代的灵魂。由于有了计算机,布尔代数往往并不叫布尔代数,而叫“布尔变量”,也就是0和1这二个变量。沃尔夫拉姆(Stephen Wolfram)这位天才,在纪念布尔诞辰200周年时,把布尔代数总结成一张表,最后他认为就一个公理便可将其表达清楚。所以,简洁才是数学之美啊!


布尔变量.jpg


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