俞云伟
相对论是怎么想出来的
2020-3-10 15:28
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对相对论的学习常常是物理专业本科生的一个难点。博主认为最重要的是需要理清楚建立相对论的思路历程。我们先来看狭义相对论建立前后的情况。一方面,很多人相信所有的物理规律应不依赖参考系(至少是惯性系)的选择,即(狭义)相对性原理,这显然是一种极为朴素的合理的想法。另一方面,描述电磁规律的麦克斯韦方程组却含有光的速度。然根据伽利略速度叠加原理,速度的大小显然是依赖于参考系的,因此也就意味着麦克斯韦方程组只能成立于一个特殊的参考系,也就是所谓的以太参考系。所以,要解决麦克斯韦方程组所面临的困境,似乎只有两种选择。一种是放弃针对电磁规律的相对性原理,建立一个所谓绝对参考系的概念,认为麦克斯韦方程组只在这个参考系成立。但是,我们现在都知道,最终的实验证明以太并不存在。另一种选择是放弃针对光速的伽利略速度变换法则,认为光速是不随参考系变化的。显然,这两种选择都会令人感到痛苦,不过也都有人做出了尝试。最后,选择光速不变的爱因斯坦把路走通了,也就是建立了所谓的狭义相对论。

让我们来简单理解一下狭义相对论的逻辑。因为速度是坐标关于时间的导数,所以我们一旦对速度做出了特殊的规定,那也就意味着我们在坐标和时间之间建立了一种强制的联系。这种联系导致在参考系变换的时候,不仅坐标会变,时间也必须变!时间依赖于参考系,这是狭义相对论对人们的传统思维所造成的第一波冲击。那么时间具体怎么变呢?人们发现,时间必须和坐标一起作为一个整体参与参考系变换。用数学的语言来描述的话,那就是在每一个参考系里面,一维的时间和三维的坐标需组成一个四维的向量,它的参考系变换法则恰恰就是四维向量空间的坐标变换法则。在变换过程中,向量的分量都会发生变化,但向量本身保持不变(反映了它所代表的物理量作为整体不随参考系变化的属性)。我们常常讲时空这个概念,很多人就觉得很玄乎。其实我们讲时空性质指的就是,时间和坐标作为分量组合到一起的时候,组合系数该怎么取(这种度量的规矩就称作度规)。以处理时间和空间的关系为出发点,人们马上可以发现,其实其它所有物理量都要这样处理。比如物体的能量和动量组成了一个四维的向量,作为整体进行坐标变换。 这种分量变换遵循坐标变换或逆变换法则的量,不只是一维的,还可以包括更高阶的,它们统称为张量。所有的物理量都必须作为它所属的那个张量的分量来进行坐标变换。换句话说,如果一个物理规律能够满足在不同参考系中均成立的要求的话,那它在数学上就应该可以写作一个关于张量的方程。比如,麦克斯韦方程组就很容易被改写为一个张量方程。

于是,当人们都在为狭义相对论的成功而欢呼的时候,爱因斯坦本人认识到,在物理学上具有重要地位的牛顿万有引力定律并不满足相对性原理的要求。从形式上说,引力与距离的平方反比公式并不是一个张量方程。与此同时,爱因斯坦对于“一切物理规律在一切惯性系中均成立”的狭义相对性原理也感到并不满意,因为它使得惯性系成为了特殊的参考系。他希望把他推广为“一切物理规律在一切参考系中均成立”的广义相对性原理。但是,这样做得话,就必须要说明我们在处理非惯性系时广泛引入的惯性力到底是一个什么东西。于是,爱因斯坦设想,对于处于引力场电梯箱中的人和处于太空中加速运动电梯箱中的人而言,两者并不能从自身的处境中感受到差异,从而可以知道引力场与加速场是等效的。换句话说,也就是我们通常讲的引力质量和惯性质量等价。因此,狭义相对论所面临的两个问题本质上是同一个问题。更具体来看,在一个有心的引力场中,其任何局域的位置上,我们总能找到那个与引力场等效的加速场。但对于不同位置而言,这些等效的加速场并不相同。这意味着引力场中不同位置的时空性质是不同的,时空性质是位置的函数。所以通俗地讲,引力场所对应的并不是一个处处均匀的平直时空,而是一个弯曲的时空。或者更进一步说,引力是时空弯曲的表现和产生的效应。

牛顿万有引力公式告诉我们的是,给定一个质量及其分布,可以得到由其所造成的引力势分布。所以在广义相对论的框架下,就是给定能量和动量及其分布,就应该可以得到由其所造成的弯曲时空的度规分布。于是,我们就可以根据牛顿的引力场方程来构造满足广义相对性原理的引力场方程。重新得到的爱因斯坦引力场方程就是以度规张量为未知数的方程。我们需要做的,常常就是给定物质输入,然后求解度规张量。只不过这个解方程的过程,一般是先根据对称性猜测度规的可能形式,然后通过方程来确定其中的未定参数。

 


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