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“贱民”萨哈(Saha)及其公式 精选

已有 15830 次阅读 2016-2-15 11:35 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

最近在家fq成功,看了一个印度人做的纪录片,the quantum indians。

https://www.youtube.com/watch?v=7z9NUV_YrOo

片子讲了上世纪初三个对物理学作出巨大贡献的印度人,即提出玻色统计的bose,发现拉曼效应的raman,及提出著名的萨哈公式的saha。前两个大部分人都有所耳闻(今天做材料的搞不好天天都会做拉曼谱),但第三个的名气就小得多。不过就我个人而言,最先听说的却是saha,因为saha的公式在我们的本科的热力学教材里有提到。这个公式据称开创了现代天体物理学。

saha的工作是有关这样一个问题(我不确定cuspea考试是否有这个题):

考虑容器内一团氢原子气,加热之,在一定温度T下,多少比例的氢原子会电离成质子和电子?

或者,考虑到氢原子会形成氢分子,考虑更早一个问题:

考虑容器内一团氢分子,加热之,在一定温度下,多少比例的氢分子会分解成自由氢原子?

考虑第一个问题。一个基于量纲分析的幼稚想法是,要让氢原子显著电离,温度必须跟氢原子的束缚能相当,即KT约等于Eb。氢原子的束缚能Eb是13.6电子伏特,一电子伏特相当于11000K,所以要让氢原子显著电离,温度必须在15万度的量级。

可是saha指出,这个想法大错特错。

我们可以用boltzmann公式看看缺了点什么。为简单起见,先忽略氢原子存在除基态外还存在很多激发态这一事实。我们需要比较氢原子处在基态和电离这两种状态的权重,而权重一要看能量二要看简并度。要电离氢原子,我们首先得付出13.6个电子伏特的能量,这个能量按照boltamann定律会抑制电离。但是,在让电子自由后,我们获得了额外的自由度或者说简并度。以前,电子只在基态轨道上转,位置和速度都固定,现在电子可以出现在容器里任何地方,其速度也可以取任意值。特别的,容器越大,电子的自由度越大。所以,只要容器足够大,电离的权重就越大;只要容器足够大,即便温度很低(比如远远小于束缚能),电离的权重也可以超过基态的权重!

所以,在上面的问题中,影响氢原子电离率的不仅有温度,而且有密度(或者说压强)。

这便是saha公式的关键点。密度会影响电离度也可以从动力学的角度来理解。一个氢原子的电离是就地的事情,与密度无关;但是,一个质子和一个电子结合成一个氢原子,却得首先让他俩有机会碰面,显然密度越大,他们碰面的机会越大。其实,这点也符合高中化学里的勒沙特列原理。

saha的原始公式很丑陋(毕竟他考虑的不是理想模型,是具体系统),这里就不展示了。大家可以看看他如何强调压强对恒星大气电离的影响:

可以看看他做的有关钙原子在不同温度和压强下电离率的表(明显可见,压强越低,完全电离的温度越低):


saha提出他的公式是在1920年,目的是解释太阳光谱之谜。自19世纪中叶,夫琅禾费发现太阳光谱中的暗线,几十年下来,天文学家积累了大量的恒星光谱。每一套光谱里包含有几十种元素的几百甚至上千条暗线。这些谱线的位置很稳定,但是强度却多变。比如在可见光波段的氢原子的balmer系,有的恒星的很强,有的则几乎看不到。有趣的是,大致存在这样一个规律,温度适中的恒星的balmer线的强度最大,温度太低和太高都会导致balmer线的消失。

萨哈的公式就能解释这个现象。首先我们注意到,要有balmer系的吸收线,氢原子得在n=2的那个能级,这是第一激发态。假设一定压强。温度太低则很少有氢原子被激发到n=2的能级;温度太高则氢原子大部分被电离了。所以存在一个最佳的温度,使得n=2的氢原子数最大。

萨哈的公式还能解释为什么太阳光谱里找不到Cs等碱金属的谱线,事实上Cs等元素是夫琅禾费之后的基尔霍夫等人在实验室观察发射谱发现的。这些元素的电离能非常低,所以几乎完全电离了(类似地,太阳里的氢分子也完全分解了)。不过萨哈指出,在太阳黑子这种温度相对较低的区域,应该是可以找到Cs的吸收谱的。后来还真的找到了。

显然,萨哈的公式的意义在于,它提供了一个从恒星光谱推算各种元素丰度的可能。按照这个路子,哈佛女天文学家payne发现恒星的绝大部分质量来自氢和氦!

注1:观看纪录片后,研究了下saha的生平,结果发现他来自印度社会的最底层---他是种姓制度里的"贱民"。他是凭自己的天赋和兄长及若干好心人的支持完成学业。种族主义者一定是没见过世面的人

注2:曹则贤老师最近有个很有趣的文章,什么实验观察逼出了量子力学?可见,谱线强度问题不仅促进了量子力学的发展,也促进了天体物理的发展。

注3:saha跟bose是同班同学。不过,bose考试总是第一名,而saha则总是第二名。

注4:作为开创式成果,saha的公式肯定是粗糙的,比如他只考虑了单种元素,也没有考虑原子的内部能级。在真实的恒星大气里,存在几十种元素,每种元素都会贡献电子,电子全同,所以一种元素的存在会(一定情况下应该会非常严重地)影响其他元素的电离。

注5:按照王虹宇老师的评论,saha公式的另外一个弱点是,他假设气体都是无相互作用理想气体。这个在密度低的时候,应该是可取的,但是在高密度的情况下,应该会显著地偏离真实情况。这时候,我们有个强相互作用多体系统。

注6:saha的另外一个贡献是,他的所谓的选择性辐射压。也是通过光谱观察,人们发现太阳大气里,钙可以达到几千公里的高度。在太阳表面巨大的重力加速度下,重元素如钙能够达到这样的高度,让人很费解。saha根据bohr等发展的量子论,指出一定元素对特定波长的光散射截面很大,所以能够感受到强的辐射压。可惜,他的文章太长,他付不起版面费,文章没及时完整地发表!现代激光冷却用的是同样的物理。



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