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Laplace的矢量(守恒量)

已有 4053 次阅读 2018-4-30 15:37 |个人分类:物理学史|系统分类:教学心得

经典力学中,有一个结果让人非常佩服,就是Laplace发现,在Kepler问题中,除能量和角动量外,其实还存在一个矢量是守恒量,此即所谓的laplace-runge-lenz矢量

这个结果让人佩服的理由是,这里A的表达式并不那么简单!那么Laplace当初是如何发现之的呢?

最近博主第一次找来Laplace的天体力学原著,从中找到了Lapalce的原始发现过程。其实laplace的想法非常简单非常直接非常系统。按照现在的术语,我们有一组关于位置xi和动量pi的运动方程,然后我们想找一个xi和pi的函数V,使得V对时间的微分为零。做此微分得

将运动方程带入,就得到一个有关V的偏微分方程。现在就是要求解这个偏微分方程。Laplace的策略是,假定V是pi的多项式函数,将V按照动量pi的幂次做分解,并且假定pi的最高次幂为2。

按照此策略,laplace很容易就发现了三个守恒量,它们最高只含有pi的一次幂。它们其实就是角动量的三个分量。

当做到pi的二次幂时,就得到了能量,以及他的矢量了!见图:

方框内的三个量即Lapalce矢量的三个分量,只不过在当时对矢量大家都是采用细述其各分量的记法。

回过头来看,在计算之前,Laplace就有充分的理由怀疑,在能量和角动量之外,还存在额外的守恒量。Kepler问题的相空间是6维,能量和角动量的三个分量一共是4个守恒量,如果不存在额外的守恒量,系统还有两个自由度。但是其实Kepler系统中,系统的轨迹是个闭合的曲线,只有一个自由度。

在kepler问题中,Laplace的矢量跟角动量矢量具有同等重要的地位,它们一起确定行星在三维空间中的轨迹;角动量L确定轨道平面,矢量A确定长轴方向。

按照Noether定理,每个守恒量背后其实是一个对称性。角动量L对应的对称性很显然,就是系统的转动不变性。那么矢量A对应的对称性呢?这个可以通过下面的两张图看出。

在第一幅图中,实线所表示的椭圆轨道经过一系列转动,得到另外三个形状相同只是取向不同的椭圆轨道。在第二幅图中,同样的实线轨道,经过A的x分量的作用,依次“流”变为三个新的椭圆轨道,其长轴保持不变(这意味着所有轨道能量相同),但是取向和偏心率均有变化。所以,我们看到,Laplace的矢量作为一个守恒量,其实与Kepler问题中,能量与角动量无关这一事实有关。

历史上,Laplace的守恒量被重复发现过。不过,其第一次被以矢量形式展现,可能是在Runge的矢量分析的教材里。不过,Runge没有引用Laplace。之后,Lenz在用旧量子力学研究电场磁场中的氢原子时,用到了矢量A这个守恒量。

海森堡提出矩阵力学后,Pauli利用作为算符的矢量A,求解了氢原子能级。  



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