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从Sackur-Tetrode公式看统计物理教学中的一个小问题 精选

已有 8223 次阅读 2018-4-10 10:56 |个人分类:物理学史|系统分类:教学心得

在物理系本科教学中,量子力学和统计力学谁先谁后,是个值得商榷的问题。博主那会,是先上的统计力学(热力学更早,是在大一下学期),然后上的量子力学。

这个顺序可能应该倒过来。

理由是,统计力学天然就是量子的。量子化为统计力学提供其必要的离散化。

比如,在所谓的经典统计力学中,我们需要将相空间剖分成一个个的最小单元,每个最小单元的体积为h的N次方,并且认为每个最小单元对应一个状态。

这在没有学量子力学的情况下,是很难理解的。而学了量子力学,对量子化和不确定性原理有了解后,就好接受了。

历史上,需要将相空间作如此剖分,统计力学的奠基者Boltzmann就意识到了。毕竟谈状态数,就必然需要离散化。只不过,在他那里,这个最小单元的体积可以任意,因为这只会导致系统的熵多一个常数。

后来Planck提出量子化后,慢慢地人们意识到这个最小体积可能跟普朗克的常数有关系。

但是,在一开始,人们并不确定其值就应该是h的N次方。

这反映在1912年左右,Sackur和Tetrode的经典工作中。注意这个时候还没有bohr的氢原子量子化。

Sackur和Tetrode讨论的是这样一个基本问题:给你一罐单原子气体(假设是理想气体),比如氦气,给定压强和温度,你能否计算这团气体的熵?就这个问题,他们得到了以他们命名的公式:

注意是单原子。这时人们已经从实验中发现两原子或者多原子气体的比热随温度变化有非常奇怪的行为,所以他们避免讨论这种复杂的情形。此外,他们开始讨论一团气体的熵的绝对值,是因为早些时候Nernst的工作,人们意识到一个系统的熵其实有个定值。

Tetrode的工作特别清晰,他的解法跟现代教材上的解法几无二致。他首先说必须做剖分,不然状态数为无穷大,没有意义

然后,对最小单元的体积,他认为应该是这样的:

他可没说这个最小体积就是h的N次方!!!

他只是说应该是与h的N次方差一个常数z!!!在普朗克研究的问题中,常数z为1。但是对其他系统,比如他目前考虑的单原子气体,z待定;对多原子气体,z应该会取不同的值。

事实上,Tetrode在得到他的公式后,以汞为例,通过对比理论值和实验值,确定z为0.07。只是在后来,他发现自己计算有误,才将z值更正为1。而对这个特殊的值,他也没有给予特别的讨论。

Sackur和Tetrode的文章标题值得注意。Sackur的是Die universelle Bedeutung des sog. elementaren Wirkungsquantums, 即The universal meaning of the so-called quantum element; Tetrode的是Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum, 即The chemical constants of gases and the quantum element。很明显,他们关心的是普朗克常数的普适意义


注1:Tetrode的论文及其更正:

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/andp.19123430708 

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/andp.19123430708 

注2:Sackur和Tetrode都早逝,一个34,一个36。Sackur是个化学家,他在Harber的实验室工作时因为气体爆炸而死;Tetrode发表他的公式时,才17岁,属于天才少年。



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