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计算方法:梯形求积公式及其标度律

已有 4690 次阅读 2017-12-16 10:43 |个人分类:计算方法|系统分类:教学心得

梯形求积公式是最简单的数值积分工具。下面的程序利用积分

来计算ln2, 并研究其误差随采样点增加而减少的标度律。

很明显是平方律:

这个平方律是比较差的。我们往往需要配合Richardson插值法(也就是romberg方案 )来获得高精度结果。

但是,在某些时候,梯形公式会有极高的精度,这时标度律会是指数律,即误差随采样点增加指数减小。比如,我们可以考虑利用下面的表达式计算整数阶的bessel函数

相关程序为

从下图可以看到,对于二阶(一型)bessel函数在0.5处的值,只需要14个采样点,就可以达到机器精度!

这背后是有原因的。这里积分是对一个周期函数作一个周期内的积分。在这种情况下,fourier理论可以用上了。积分的准确值是零分量,数值误差来自某些高阶分量。偏偏这里的被积函数又有一个很好的性质,即如果往复平面解析延拓开去,其在全平面解析。按照paley-wiener定理的精神,这种函数的傅里叶分量会指数减小。

作业: 利用梯形公式计算第一和第二型椭圆积分



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2 杨正瓴 徐令予

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