10 量子场论中的新洞悉与数学（二）

彼得·沃特 著

左 芬  译

杨-米尔斯理论和数学中的瞬子

在标准模型最后成形的那些年里，粒子理论研究中的主旋律之一是不断努力去发展超出微扰展开的量子场论计算方法。这在QCD（量子色动力学）中是很重要的，那里相互作用在远距时会变得很强，因此微扰展开是无用的。尽管做出了各种进展，能够应用到QCD的完全成功的非微扰计算技术仍然没有出现。

与电磁学的情况不同，对于杨-米尔斯理论，不仅量子场论是极度不平庸的，经典场方程也是如此。如果不存在带电粒子，主导经典电磁学的微分方程，麦克斯韦方程，很容易求解，而解描述了电磁波。这些方程是线性的，这表示如果你有方程的两组解，你可以把它们加起来得到第三组。而经典杨-米尔斯理论的类似微分方程，被称作杨-米尔斯方程的，完全是另一个故事。它们是非线性的，非常难以明确地求解。1975年四个俄国物理学家（亚历山大·贝拉温，亚历山大·泊里雅科夫，阿尔伯特·施瓦茨与尤里·图普金）在研究杨-米尔斯方程时发现了一种方法可以至少得到它们的一些解，那些满足所谓自对偶条件的解。这些解被称为BPST（译注：四人的姓氏首字母缩写）瞬子。瞬子这一名称指的是这些解局域在四维时空中的一个点——一瞬——附近这一事实。一个重要的技术细节是这些解满足的是所谓欧氏版本的自对偶方程，在其中时间和空间完全是被平等对待的，忽略了使时间方向在狭义相对论中区别于空间的特点。这些自对偶方程的瞬子解是数学家从未真正重视过的。

对这些瞬子解的一种观点是他们提供了微扰展开计算的不同的展开点。标准的微扰展开可以认为是在场接近于零时是一种好的近似，但我们也可以发展出一种新的微扰展开，不是在零场处展开，而是在满足自对偶方程的场处。将所有解附近的所有微扰展开考虑在内应该会是完整理论的更好近似，相比于在零场附近的标准微扰展开。以经典场方程的非平庸解作为量子理论中的近似计算的出发点的这类计算被形容为准经典的。 在BPST瞬子经典解的情形下，特霍夫特在1976年进行了这类计算，紧接着好几个物理学家小组也做了计算。结果是非常有趣的，因为它们揭示出在零场处的标准微扰展开中不曾出现的新物理现象。例如，特霍夫特发现利用电弱理论的经典方程的瞬子解所进行的这类计算导致质子衰变这一预言。预言的衰变速率远远低于大统一理论，也远远低于任何可能观测到的值，因此只具有纯粹的理论趣味。特霍夫特还发现流代数无法解释的性质之一，第九种南部-戈德斯通波色子的不存在，或许也可以用这些新计算来解释。

在后续几年里，基于杨-米尔斯理论和其他物理理论的经典方程的各种解大量准经典计算被完成了。一时间人们对此给予了很高的期望，特别是在普林斯顿，期望这一工作能导致一种计算方法，使得强相互作用下的QCD的可靠计算成为可能。最终这些希望全都落空了。看起来准经典计算仍然相当依赖作用力很弱这一条件，因此就跟标准微扰展开一样，当QCD中的作用力变强的时候就失效了。

尽管瞬子在帮助理解QCD上没有帮上多少忙，在经过一些出其不意的转折性事件后他们最终在数学中变得极其重要。无论如何衡量，迈克尔·阿蒂亚爵士都是二十世纪后半叶的数学领袖之一，他的工作尽管以一种不同寻常的方式打破了数学领域之间的标准界限，但主要集中在拓扑和几何上。可能他最伟大的成就是与艾莎道尔·辛格在1960年代中期证明的所谓阿蒂亚-辛格指标定理。这为他们俩赢得了2004年的阿贝尔奖，自颁发以来的第二次。阿贝尔奖是由挪威政府于2001年设立起来充当数学中的诺贝尔奖的，而2003年的首次奖项颁给了法国数学家让-皮埃尔·塞尔。

阿蒂亚-辛格指标定理将一大类微分方程的解的数目完全由拓扑表达出来。拓扑是数学的一个部分，专门处理几何物体在形变时保持不变的那些性质的（标准的玩笑解释是“拓扑学家就是那些分不清咖啡杯和甜甜圈的家伙”）。指标定理的一个重要性质就是它可以通过将涉及的微分方程关联到一种广义版本的狄拉克方程来证明。在他们研究这一定理的过程中，阿蒂亚和辛格独立地重新发现了狄拉克方程。他们的定理表明，通过找出相关联的广义狄拉克方程的解的数目，你可以计算原微分方程的解的数目。而正是对于这些广义的狄拉克方程，他们发现了一个精妙绝伦的拓扑公式来得出解的数目。

因为之前访问石溪分校时得知杨-米尔斯理论，辛格1976年秋天在牛津大学数学学院讲授了这一主题。阿蒂亚非常感兴趣，而且他们很快意识到他们的指标定理可以应用到这一情形中，并确定出自对偶方程究竟有多少解。自1977年起，阿蒂亚的研究工作完全被理论物理启发的课题所主导，以至于他的文集的第五卷被题名为规范理论。 (Atiyah, 1988)

1977年春天阿蒂亚访问了麻省剑桥，这其实是司空见惯的事。 (Witten, 1999) 不过，跟之前的访问不同，这一次他对跟物理学家交谈很感兴趣，并对在麻省理工学院罗曼·贾基夫的办公室遇见的一位哈佛博士后——爱德华·威滕——印象极为深刻。他邀请威滕到剑桥去访问他几个星期。这次访问在1977年12月得以实现，宣告着两人超过四分之一世纪的互动的开始，而这一互动最终导致了数学与物理学中的巨大进展。在1978年间，威滕研究了涉及超对称的好几种想法，其中就包括利用它去求解完整的杨-米尔斯方程，而不仅仅是自对偶方程。在威滕访问剑桥期间，阿蒂亚让他与一位叫做戴维·奥利弗的英国物理学家取得了联系，而这导致了某种超对称规范理论中的一些卓越的对偶性质方面的合作成果。这一主题后来意义重大，关于它的重要工作一直持续到现在。对于威滕来说，这一阶段是对现代数学、超对称以及二者之间关系的漫长而深入的探讨的开始。

自对偶方程的这一早期工作催生出多种多样的数学想法，而很快到来的最出人意料的结果并非出自阿蒂亚，而是他在牛津大学的一个叫做西蒙·唐纳森的学生。到1982年，以杨-米尔斯理论自对偶方程的解的研究为基本技巧，唐纳森设法证明了关于四维空间拓扑的种种强有力且始料未及的定理。1950年代和1960年代早期曾是拓扑学这一领域的黄金时代，而到了1960年代末相当一部分已为人所知。两维空间的拓扑（想象一个球或者甜甜圈的表面）是一个很简单的故事。球的表面没有洞，甜甜圈的表面有一个洞，以此类推。一个让人惊奇的发现是，如果你考虑五维或者更高维度的空间，事情会简化很多。本质上来说，当有足够多的维度时，会有足够的余地将物体以多种方式变来变去。当然，给定两个不同的空间，是否能将其中一个变形成另一个这一问题有点复杂，但仍然可以解决。三维和四维才是真正困难的，在理解它们上进展极其缓慢。

对空间按拓扑进行分类取决于允许那种形变。究竟是允许所有的形变（只要你不撕裂物体），包括那些会产生扭折（Kink）的，还是坚持空间在形变时必须保持光滑（没有扭折）？到了1960年代晚期，人们已经知道，对于两维或者五维及更高维度空间来说，这两种不同形变的结果是紧密相关的，尽管存在些微的差别。但唐纳森所阐明的是，在四维中，这两种不同形变导致两种迥异的分类方案。而他是利用规范理论以及偏微分方程的解（拓扑学家认为跟自己的领域天各一方的数学分支）来得出这一结论的，这一事实更加令人瞠目结舌。因为这一工作，唐纳森被授予1986年的菲尔兹奖。

Bibliography

Atiyah, M. (1988). Michael Atiyah  Collected Works, Volume 5: Gauge Theories. Oxford University Press.

          Witten, E. (1999). Michael Atiyah and the Physics/Geometry Interface. Asian J. Math. 3, lxi-lxiv.