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音乐美术中的分形艺术

已有 6270 次阅读 2013-8-5 19:13 |系统分类:科普集锦| 数学, 美术, 艺术, 音乐, 分形

以前接触到与关分形有关的最多的是分形图片，今天才知道分形在音乐中也有应用。特地查了一些资料，贴出来供大家欣赏。主要来自网络。

分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，音乐美术等也产生了影响。

音乐部分：

Daniel Levitin 教授是一位脑神经科学家，同时也是一个音乐家。他率领的研究团队最近发现，音乐的节奏中也存在着分形结构，且节奏中的分形模式，可以用来区分不同的音乐流派和作曲风格。

声音，纷繁多变。有时被称为乐音，有时被称为噪音，其区分标准一般在于，是否能够给收听者带来身心愉悦的感受，是否具有一定的艺术性。然而这样宽泛的概念，是不是也能用数学量化的标准予以清晰地呈现呢？来看看下面这些用图像来呈现音乐的尝试 [1] ：

早已有研究表明，美妙的音乐篇章，尤其是古典音乐和交响乐中，蕴含着许多奇妙的分形艺术。首先，我们来介绍一下，白噪声、红噪声和粉红噪声，由此引出 “音乐中的分形” 这一概念。

乐音中的分形

白噪声 白噪声（white noise）是功率谱密度在整个频域内均匀分布的声音类型。就像光学中的白光，是由所有频率的可见光混合得到的一样。理想的白噪音，就是把人耳能接收到的所有频率的声音同时发出。最为我们所熟悉的白噪声，就是在收听广播时候，在有节目的频段上所听到的电波声，还有磁带空白处的声音。类似于，沙沙沙，沙沙沙。这样的声音听起来，前后基本一致，可预测性最强，随机性最弱。

红噪声 与之对应，另外一个极端的声音现象是布朗噪声（brown noise），也叫做 “红噪声”。与物理中布朗运动的概念类似，这种声音的前后音程差，是微小的、随机的、无规律的变化。可以设想，就像是第一次见到钢琴的小孩子，他用一个手指在琴键上乱弹一通。这种声音毫无规律可循，也没有美感可言，随机性最强，可预测性最弱。

（图 1）从左到右边分别为：白噪声、红噪声（布朗噪声）、粉红噪声（1/f 噪声）；上排表示声波分布，下排表示在频域的分布情况。[2]

就像世界上的诸多事物一样，美好的东西总是寻求一个平衡（balance）。那么，在可预测性和随机性之间，是不是也存在一个平衡的界限，对应着美妙的乐音呢？答案是肯定的。这就是 “1/f 噪声”（1/f noise），又称为 “粉红噪声”（pink noise）。

粉红噪声 从时间域的波形来看，粉红噪声的声波图像具有分形的结构。从频域—能量的角度分析，其能量从低频向高频不断衰减，曲线为 1/f，通常为每 8 度下降 3 分贝。最初的科学研究中，常利用 “1/f 噪声” 模拟出瀑布、刮风或是下雨，这种自然界中浑然天成的声音。对大量乐谱的分析也早已证实，多数犹如天籁之音的世界名曲，均属于粉红噪声。

节奏中的分形

上面所考虑的分形都是对于 “音高”（pitch）而言。近日，PNAS 上刊发了一篇文章，Daniel Levitin 教授率领的研究团队，对于音乐的 “节奏”（rhythm）进行了研究。他们发现，在诸多乐曲的节奏中，也蕴含着类似的分形结构 [2] 。

作者在论文开头写道： “音乐中有拍子，并且拍子出现的规律会有一定的重复性。我们通常无法预测下一个旋律的转折点会怎样演绎，但却能够在静静聆听的过程中，感觉到音乐的转折点何时将要到来。” 于是，可以猜测，在看似无迹可寻的韵律中，或许也有类似的分形结构。

（图 2）对贝多芬四重奏的乐段节选进行节奏分析，A 为乐谱，B 为 1/f 分布，C 为 1/f 的指数化处理，得到类似于正态分布的结果。[2]

如上面（图 2）中的乐谱，可以看到乐曲中各音符之间的间隔并无规律可循。但是，如果从频域的角度来考虑，就会得到不一样的结果。通过对进一个世纪以来的大量音乐作品进行分析，研究人员发现，音符和休止出现的频率和持续的时间（temporal / rhythmic），也遵循 “1/f 分布”（1/f distribution）。而在频域上的 “1/f 分布”，对应在时间域上即为分形曲线。

节奏中的分形结构听起来或许有些抽象，但它却可以用来区分不同的音乐流派和作曲风格。

研究人员称，他们分析了不同的音乐流派及不同作曲者的大量作品，得到各自的 “1/f 分布”，再将其做进一步的指数化处理，可以得到一个类似于正态分布，有对应的均值和方差。结果发现，不同的 “均值” 对应着不同的音乐风格。大的 “均值” 对应着较强的可预测性，而均值较小则表明乐曲节奏较为平稳。

这与直观上的听觉体验基本一致。例如，滑稽音和诙谐曲的均值，比交响乐和抒情曲要大，表明其曲风多变，无章可循，从而营造出始料未及的艺术效果。同样，贝多芬、海顿和莫扎特同为一个时期的作曲家，但他们乐谱的分形特征却各不相同；而间隔了几个世纪的作品，比如蒙特威尔第和乔普林的乐谱，则呈现出类似的节奏模式。

（图 3）上下两组图片分别表示不同作曲家和不同音乐流派所对应的 “均值”。主要看 E 这一列，纵轴代表流派，横轴代表均值大小。均值越大，音乐节奏的可预测性就越大，反之预测性就越小。可见，作曲家中，贝多芬的可预测性最强，而莫扎特则是随机性很强；在不同的音乐流派中，交响乐的可预测性最强，而拉格泰姆调（Ragtime）的随机性最强。[2]

从（图 3）中可以看出，莫扎特和乔普林作品的 “均值” 都比较低，风格也就类似；贝多芬和维瓦尔第的 “均值” 都较高，其作品节奏变化也较为接近。这一结果表明，音乐节奏的分形变化，可能是植根于人类大脑中的作曲能力的基本属性。研究人员称，不同作曲家独特的风格特征，很可能是他们各自让节奏的分形发生变化的尝试。

根据这一结果，我们可以进一步大胆设想，开发出一套自动编曲的软件，先通过 “1/f分布” 曲线创作出对应节奏，再随机填入音符，是否一定能得到曼妙的乐章呢？不过，该路数的创作结果，一定与之前仅考虑音高上的创作出的 “分形音乐” 截然不同。至于孰优孰劣，当然要由听众来做评判。

顺便说一句，这位 Daniel Levitin 教授，不仅是一位音乐家，还是著名的脑神经科学家。他在其著作 “This is Your Brain on Music” 一书的开篇，就表明了自己对音乐和科学的热爱，并解释了自己为何要研究音乐与科学之间的联系。或许正是拥有这般对自己的兴趣，孜孜以求的钻研精神，才有可能发现隐藏在美好事物背后的那些神秘的魅力。