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Zmn-0606 薛问天：区分两种实无穷观
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Zmn-0606 薛问天：区分两种实无穷观
【编者按。下面是薛问天先生2014-08在《评论园地》上发表的文章。现在再次发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
易177-薛问天：区分两种实无穷观
2014-08-14 22:00:13| 分类： 评论园地 | 标签：
区分两种实无穷观
薛问天2014-8-14
有两种实无穷观。一种是古典的（原始的）实无穷观，一种是现代的（康托尔）的实无穷观。这两种实无穷观虽然都称作“实无穷观”，但是它们的含义有很大的不同，不容混淆。目前很多论点的错误，具体分析其根源，多是由于混淆了这两种实无穷观的区别的缘故。故仔细区分两种实无穷观的含义，具有非常重要的现实意义。
1， 古典的（原始的）实无穷观
大约是在公元前4世纪左右。德谟克里特(约BC460-370)认为：一切事物都是由原子和虚空构成的，原子在大小和数量上都是无穷的，原子是不可再分的。他认为原子是无穷小的，并且这种无穷小是完成了的无穷小，因为原子本身是不能再分的。这就是最早的古典的实无穷的观点。
我国古代先秦时期的惠施提出了著名的“历物十事”。其中有一个命题是：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”大意是说：在包含天地万物的那个称为“大一”的无穷大之外别无他物；在构成天地万物的那个称为“小一”的无穷小之内不可再分。大可以达到完全，小可以达到极至，这里显然包含了典型的实无穷思想。
古典的实无穷观认为无穷大和无穷小都是存在着的实体、元素。这种观点遭到了潜无穷观的反对。潜无穷观认为无穷是一个变化着永未完成过程，而不是生成过程已经完成的实体。
亚里士多德坚持认为只有潜无穷，而没有实无穷。他认为：无穷只能是一种潜在的存在，而不能是一种实在的存在。
15世纪前后，开普勒成功地使用了无穷小量分析方法求得了一些曲面体的体积。此后，牛顿和莱布尼茨进一步使用无穷小分析方法各自独立地提出了微积分理论。这一时期的数学家把无穷小当作一种实体存在的对象，所以他们基本上都是实无穷论者。
1734年大主教贝克莱提出了著名的贝克莱悖论，激化了把无穷小当作一种实体存在引发的矛盾，导致了第二次数学危机，促使了微积分的理论基础的建构。到了19世纪，在众多数学家努力的基础上，柯西和魏尔斯特拉斯系统地建立了极限理论，给了微积分一个严格的理论基础。极限论贯彻了彻底的潜无穷观点，不再认为无穷小是一种实体存在的常量，而是一种变量。随着极限论的发展，潜无穷观又逐渐取代了实无穷观的优势地位。（注：本文部分历史资料，引自杜国平先生的文章“潜无穷、实无穷探析”）
2， 现代的（康托尔的）实无穷观
19世纪末、20世纪初德国数学家康托尔系统地建立了集合理论、特别是关于无穷集合的理论。康托尔将无穷集合看作一个完成了的实体，他是个彻底的实无穷论者。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的一个非常重要的基础理论。康托尔的工作受到了包括大数学家希尔伯特在内的众多数学家的赞许，实无穷被众多的数学家所接受。
康托尔在《集合论基础》一书中指出：对于自然数序列1，2，3，…，尽管每个自然数都是从1开始，通过有穷次相继加1而产生的。但是全体自然数的集合却是一个完整的、存在着的无穷集合。这与潜无穷观认为自然数序列的生成过程永远也不会终止的观点是截然不同的。潜无穷观既然认为自然数的生成过程永远也不会完成，因而认为自然数序列并不构成一个“集合”。因为集合的元素必须是确定的，是已经完全生成好的对象。所以说，潜无穷观者并不承认全体自然数集合的存在，不承认它是一个无穷集合。
3，两种实无穷观的区别
虽然实无穷观同潜无穷观不同，承认无穷可以作为一个实体的存在，但是，古典的实无穷观和现代的实无穷观的含义还是有原则区别的。
例如对于自然数，古典的实无穷观认为自然数有最大元存在。“至大无外，谓之大一”。不仅认为自然数有最大元的存在，而且还认为最大元是可达的。而现代的实无穷观则不同，认为自然数最大元并不存在，但承认全体自然数集合的存在，承认它是一个无穷集合。所谓可达也只是这个无穷集合可达，并不是有个最大自然数可达。
古典的实无穷观认为自然数不断增大，这个增大的过程可以终结。但是却认为这个过程能终结于一个确定的时刻。在这个终结时刻生成的最后一个自然数就是最大元，它是一个存在于无穷远的实体，处在一个无穷远的地方。也就是说自然数生成的无穷过程的终结点，终结时刻，终结处，终结时最后生成的最大自然数，都是存在的、可达的。
而现代的实无穷观并不这么认为，他认为自然数不断增大的过程可以终结，但是由于这个过程是无穷的过程，所以并不像有穷过程那样有一个确定的终结时刻。因而也就不存在这个最后时刻所生成的最大自然数。也就是说不承认有最大自然数的存在和可达。所承认的是这个无穷的生成过程是可以完成的，而且承认完成后所生成的由全体自然数所构成的无穷集合的存在。承认的不是那个不存在的最大自然数可达，而是自然数无穷集合的可达。承认这个无穷集合是个存在的实体。
承认自然数有最大元会产生明显的矛盾。因为对于自然数的认识，有个大家公认的性质：“任何自然数加1后仍然是自然数，而且是更大的自然数。”如果自然数有最大元存在，那么最大元加1后就成为比最大元更大的自然数。这与最大元的最大性质相矛盾，因而自然数中不可能有最大元存在。
现在业界认为自然数有最大元的人已经很少很少。只有个别特别顽固的人坚持自然数有最大元的存在。甚至有的还反过来，把由于承认有最大元所产生的这个矛盾归结为是自然数本身的矛盾，是集合论的矛盾。认为它是否定现代集合论的理由。显然，稍微有点逻辑思维头脑的人都不会同意这样的观点。
尽管口头上明确承认“自然数有最大元”的人已经很少，但是有些人的灵魂深处还有这种观点的残余影响，时不时以另外的形式表现出来。
例如，在无穷位编码的模型中，在用自然数作为位数进行编码时，如果认为自然数没有最大元，就不应该有最高位。可有些人就是认为在无穷位编码的模型中有最高位，由此引出许多明显错误的“硬伤”。
再例如，在丰满无穷二叉树上，树的层数是与自然数相对应的。现代实无穷观承认所有可数无穷层的的节点构成一个无穷集合，但并不承认有一个所谓的“最后层（第无穷层）”的存在；承认包含有无穷多个节点的无穷枝的存在，但是并不承认在该无穷枝上存在有最后一个节点（叶子节点）。认为无穷二叉树上有“最后层”，无穷枝上存在有“最后节点”，是受古典实无穷观的影响，同认为自然数有最大元一样，是与现代实无穷的观点背道而驰的。
有些观点表面上看来，不承认自然数有最大元，但是骨子里却还是想着有最大元。例如有人问，既然实无穷观认为自然数的生成过程已经结束，其中的元素已经完全确定，那么在生成过程结束时，最后一步生成的那个元素是什么？倒数第二个元素又是什么？
我们知道生成过程的完成并不意味着它有最后一步，无穷过程的完成并不像有穷过程的完成那样，有过程的最后一步，自然也没有倒数第二步。
有人在总结实无穷观的特征时，说“必定是肯定完成式，从而肯定了达到进程终极处（gone）。（朱梧槚 《数学无穷与中介的逻辑基础》P78.）”这种提法混淆了两种实无穷观的区别。肯定进程可以完成，这是现代实无穷观的观点，而承认有个“进程终极处”而且可以“达到进程终极处”，这显然是古典实无穷观的观点，会导致存在有最大自然数等错误。
4，关于超穷序数和超穷基数
有人把超穷序数和超穷基数同古典的实无穷观认为有最大自然数混为一谈。超穷序数和超穷基数并不是最大自然数。在现代实无穷观承认全体自然数是个无穷集合的基础上，对自然数集合在两个方向上做了扩展。一个是序数，一个是基数。序数和基数是以自然数集合为子集合的两个不同的数学对象的集合。序数中把自然数称为有穷序数，把全体自然数集合的序型称为第一个超穷序数ω，并以次引入其它超穷序数ω+1,…等。基数中把自然数称为有穷基数，把自然数集合的势称为第一个超穷基数Aleph_0，并以次引入其它超穷基数Aleph_1,…等。所有超穷序数和超穷基数的引入都是以现代实无穷观承认存在全体自然数这个无穷集合为先决条件的，只有承认存在全体自然数是无穷集合，才有它的序型作为超穷序数，才有它的势作为超穷基数。这一切都与认为自然数有最大元的古典实无穷观毫无关系。
杜国平先生认为在历史上，潜无穷和实无穷是一个轮流此消彼长的过程，“两种无穷观进行了历时二千多年的此消彼长，直至今日。”但是我认为这绝不是一种简单的循环和重复。我们持有的是前进的历史观，而不是循环的历史观。从古典实无穷观上升为现代实无穷观，这是一种螺旋式的上升。现代实无穷观继承了古典实无穷观合理的、正确的部分，而扬弃了它不合理的、错误的部分。它的含义已经发生了根本性的变化，已经有了原则性的不同。如果混淆这两种实无穷观的区别，仍然拿古典实无穷观来看待事物，误以为就是现代实无穷观，其实是对现代实无穷观的严重误解，是绝对错误的。所以当你宣称用实无穷观时，务必分清用的是古典实无穷观还是现代实无穷观。（本文完）
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