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Zmn-0599 数 森:简评Zmn-0594《一个0.9循环等于1的初等“证明”》

已有 252 次阅读 2021-7-18 17:04 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0599 数  森:简评Zmn-0594《一个0.9循环等于1的初等“证明”》

【编者按。下面是数森先生的文章。是对thebeater先生的《Zmn-0594》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

简评Zmn-0594《一个0.9循环等于1的初等“证明”》

对于本专栏Zmn-0594中的一些观点我是非常认同的。

但我觉得文中有一点没有说清楚,即0.9循环(0.999…)是什么?否则讨论0.9循环是否等于1就没有意义:

一般大家都认可0.999…是无穷级数0.9+0.09+0.009+…之和。然而无穷级数0.9+0.09+0.009+…之和又怎样定义合理呢?如果按标准数学分析(用ε-δ语言定义的收敛、极限理论)定义无穷级数之和,仔细分析其有两个特点:a)无穷级数之和(如果收敛)是一个实数。b)定义的无穷级数之和与直觉级数之和不吻合,只是找了一个最接近无穷级数之和的实数来代替而已,并不能证明两者完全相等(重合)。为了说明这个问题,我曾在本专栏Zmn-05410.999...等于1的本质是什么?》(http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1283693.html)中,提出了一个大家可能比较认可的0.999…实无穷规定(与直觉高度吻合的无穷级数之和),并详细说明了在此规定下为什么0.999…不等于1

0.999…是数轴上按如下规定经过1分钟后的一个特殊点d(其大小等于点d与原点间的长度):点d的初始位置在原点0处。在1/2分钟时,d的位置从原点0向右移了0.9;又在3/4分钟时,d的位置从前一位置向右移了0.09;又在7/8分钟时,d的位置从前一位置向右移了0.009;…。在这整个过程中,点d在大多时刻没有变化(不动),仅在11/2n (n=1,2,3,) 分钟时,点d向右移了0.9/10n。经过1分钟后的点d是不动点。有人认为,在上面叙述过程中,无穷个时间点1/2分钟,3/4分钟,7/8分钟,…是完全不能走完的,这根本不符合事实,我们知道,任何一个时刻都可对应一个实数,有理数对应的时刻必定都是存在的,每个人一生走完了多少个一分钟,为什么此一分钟是完全不能走完的。1分钟后的点d1对应在数轴上的点完全重合了吗?这是标准数学分析证明不了的,因为无法断定(证明)1分钟后的点d和某个实数点重合。当数轴由实数轴自然扩张为超实数轴后,点d必定不是数轴上实数点(虽然不能证明d和某个超实数点重合)且和1对应在数轴上的点不重合(点d1对应点之间至少还有无穷个超实数点)。有人认为不是实数的超实数不是数,这是没有依据的,由实数集自然扩张为超实数集并不是胡思乱想的产物,其是在数理逻辑、模型论基础上严格论证的结果,就如当年有理数集自然扩张成实数集时,有众多人(包括数学权威人士)认为不是有理数的实数不是数。但现在中学生都知道无理数是数,我以为,随着非标准分析的普及,在不远的将来,一般的中学生都知道所有超实数是数。

 

 

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