Zmn-0543 薛问天：谈公理和定义以及有穷集和无穷集等问题，评一阳生先生《0542》和《0539》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对一阳生先生《0542》和《0539》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

谈公理和定义以及有穷集和无穷集等问题，

评一阳生先生《0542》和《0539》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，关于公理和定义。

在《0542》中，一阳生先生谈到公理和定义的问题。认为我对集合论的外延公理的认识和表达【不严格】。其实是严格的。因为在集合论的公理中的述说的【相等】，就是逻辑上的【相同】和【同一】，可以使用逻辑上的【同一律】，可以用替换來进行推理。

1)，例如命题【设y , a和A是集合，如果y=a 且a ϵ A，则y ϵ A】，即一阳生先生提出的【若对象与集合中的某一元素相等(=)，则对象属于(ϵ)集合。】这是可以用逻辑上的同一律的替换原理来加以证明的。逻辑替换原理是说，如果a具有性质P，P(a)，当y同a是逻辑上的同一对象时，则y也具有性质P，P(y)。因为当属性是属于A时，由a∈A和y=a，就可用逻辑的同一律來证明y∈A。

2)，当然一阳生先生把【若对象与集合中的某一元素相等(=)，则对象属于(ϵ)集合。】作为属于关系∈的定义是不对的。一方面，∈是集合论中的原始概念，不需要定义。另一方面，在此命题的前提中已经用到了此一元素属于该集合的概念，如果作为定义就犯了「循环定义」的错误。一阳生先生说他对此【陷入困境】，不知问题出在哪里。应该同意我的看法才对，不应以此命题作为属于关系∈的定义。

3，一阳生先生提出了一个问题。关于相等关系是否可以作为【定义:】，而不是作为【公理】放在集合论中呢？

我认为作为公理是比较合适的。因为公理系统应当为在逻辑上什么是【同一】的集合作出规定。如果是定义，只是说明了一种【相等】关系。不能认定就是逻辑上的【同一】对象，不能随意使用替換规则。如基数相等，不能作为【同一】对象。

另外，如果【相等】是定义，则规则【 若对象与集合中的某一元素相等(=)，则对象属于(ϵ)集合。】就应作为相等关系的定义的组成部分。否则就推导不出來。

此外在集合论中还有一个规定，集合中不允许有两个相等的元素。这必须放在公理之中，但这用到了【相等】的概念，如何处理。总之，我认为还是放在公理中比较合适。

4)，一阳生提出外延公理应改为【设X、Y、A、B是集合，若X ∈A当且仅当X ∈B，则A ∈Y当且仅当B ∈Y。】

实际上这个公理可写成两条。

外延公理I 【设X、A、B是集合，若X ∈A当且仅当X ∈B，则称A等于B，A=B。】

外延公理II【设Y、A、B是集合，若A=B，则A ∈Y当且仅当B ∈Y。】

实际上这个公理i就是原外延公理。一阳生先生实际上是增加了公理II。由于这个公理II可以由逻辑的同一替换规则得到证明。所以不必要列在公理之中，如果作为公理，就是冗余的公理。公理系统要求各条公理是独立的，不允许有冗余。

二，一阳生先生在《0539》中的议论说明，他没有理解我们讨论的是，关于如何定义【无穷次】和【有穷次】的问题。

数学是非常严格的，任何概念都要有明确的定义。因为我们的讨论涉及【有穷次】和【无穷次】，就要对【有穷次】和【无穷次】给出严格的定义。要知道抽象的【有穷】和【无穷】不是数学概念，无法给出严格的定义。而最基本的有穷和无穷对象的定义就是【有穷集】和【无穷集】的定义。因而其它的对象，如【有穷和无穷小数】，【有穷和无穷位编码数】，【有穷和无穷级数】，......等概念包括【有穷次和无穷次】，都用【有穷集和无穷集】来定义。

有了这样的定义，如果你的【次集合】是有穷集，则把你的次集合称为【有穷次集合】，如果是无穷集，则称为【无穷次集合】。你的【次集合】还是你的【次集合】，不是基数的集合，其元素还是次，不是基数。只不过有了【有穷次集合】和【无穷次集合】的严格定义和区别。

一阳生先生问【基数从有穷跨越到非有穷的衔接点在哪里呢？】

从这个问题可以看出一阳生先生认为有个【衔接点】。点前是有穷集合，点后是无穷集合。或者说认为有一个从有穷集合变为无穷集合的最后时刻(时间点)。一阳生先生的这个想法是不现实的。不可能有这样的点。因为不存在最大的有限集合。从有限集合到无穷集合，不存在这样的【衔接点】。是一种飞跃和突变。这种飞跃和突变可以完成，但并无【衔接点】。这就是客观的存在，很可能不符合你的主观想象。但你必须承认。

一阳生先生说【我非常希望薛老师会这样告诉我：“自然数没有最大只有更大，即你所谓的不断增长的有限(潜无穷)，不能表示为某个确定的静止的自然数但又大于任一确定的静止的自然数，根据有穷无穷的定义这就是无穷。这样将不会面临有穷非有穷如何衔接的问题。】

我可以明确地告诉你，没有这样的【潜无穷集合】。这样的【潜无穷】，根本不是一个集合，不可能是【大于任一确定的静止的自然数】的集合。而【潜无穷】又不考虑【所有的不断增长的有限集】。要知道【所有的不断增长的有限集】是无穷个有限集，其中每个都是有限集而不是无穷集。【所有的这无穷多个有限集的并集】才是无穷集合。

我建议不要把【不断增长的有限集】称为【潜无穷】。因为潜无穷观者只承认【不断增长的有限集】，并不承认所有的这些【不断增长的有限集】是无穷多个有限集构成的集合。並不承认这无穷多个有限集的并集是无穷集。潜无穷观者根本不承认无穷集。

而实无穷观者则不同。实无穷观者承认「无穷集」的存在。承认所有的这些无穷个有穷集构成以每有穷集为元素的无穷集。在其中所有的元素都是有穷集，没有一个是无穷集。我们知道集合有并运算，只有对这无穷个有限集进行集合的并运算才得到了包括所有这些有穷集所含的元素的无穷集。这是实无穷观者的观点。

因为实无穷观承认无穷集，所以认为无穷级数是无穷个项的的相加，1+1+1+...，其中的三点"..."，我们认为它代表无穷个1相加。而潜无穷观者认为无穷级数是不断增多的有穷个数在相加。这是绝对不同的观点。

对无穷小数0.999...也认为这是无穷个位，有无穷个9，是固定的确定的数。因而0.999...=1。要知道只有在有穷个9的有穷小数，它才小于1。同样只有是有穷小数，乘以10后，两个小数点后面的数字“9”的位数将不一样，相差1位。而对于无穷小数则可证都是无穷个9的无穷小数。

我们注意，这里所说的无穷级数是无穷个项相加。但是在实际计算时并不是实际进行无穷次的加法运算。这就是无穷次运算的禁忌问题。不允许进行无穷次的运算。要有一种定义，能在有穷次地操作下完成。这就是把无穷级数的和定义为部分和序列的极限。即0.999...=Lim｛0.9,0.99,0.999,...｝=1。

同样，承认无穷次的函数运算a=...f(f(f(b)))是无穷次运算，但把它定义为有穷次运算序列的极限，a=...f(f(f(b)))=Lim｛f(b),f(f(b)),...｝。

另外一阳生先生谈到「基数」，这更是潜无穷观者不接受的概念。这里一言难尽。基数有一套理论。最小的超穷基数是ℵ₀，全体自然数集合的基数是ℵ₀，而全体实数集合的基数是ℵ，它大于ℵ₀。接受基数理论必须持实无穷观。

参考文献

Zmn-0542 一阳生：关于集合论外延公理的认识

Zmn-0537 薛问天：「外延原则」决定了集合的元素不可改变和增加。评林益先生《0522》

Zmn-0539 一阳生：我对薛老师Zmn-0530的回应。

Zmn-0530 薛问天：有定义的无穷次演算不在禁忌之列，评一阳生《Zmn-0505》和新华《Zmn-0514》

Zmn-0505 一阳生：关于无穷忌用，无穷步推理和无穷次演算禁忌真正原因的思考

Zmn-0130 薛问天：评一阳生先生有关全称量词和皮亚诺公理五的表述等问题

Zmn-0124 一阳生：大错特错的薛问天老师

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