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Zmn-0535 反对伊战：重要的是数学上的有用性评李振华先生的《Zmn-0532》

已有 915 次阅读 2021-4-16 08:19 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0535 反对伊战：重要的是数学上的有用性评李振华先生的《Zmn-0532》

【编者按。下面是反对伊战先生的文章。是对李振华先生《Zmn-0532》的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

重要的是数学上的有用性

评李振华先生的《Zmn-0532》

反对伊战

1、不可测集和选择公理的问题

李振华先生说【在维塔利集中，推理中出现了矛盾，我们把它归咎于可测的假定，认准可测是唯一罪犯，但真实情况可能并非如此。在我看来，下面三个观点都是可疑的：

1.1、可数个0相加只能等于0.

1.2、测度的平移不变性。

1.3、实数集和实数子集可以拥有大于0的长度。

否认这三个中的其中一个，都可以推翻不可测的结论，同时也保持选择公理。】

确实如此。但 1.1, 1.2, 1.3 在数学上都很有用，而承认存在不可测集在数学上并没有多大损失，所以数学家们选择保留1.1, 1.2, 1.3三性质，承认存在不可测集。

李振华先生说【在全体自然数中选中一个数，它等于1的概率（记为a)是多少？套用课本上的逻辑，你会发现，a不能被赋予概率（你不能说a是0，因为可数个a相加就等于1)，就像不可测集不能被赋予长度一样。在这里，我并没有用到选择公理，却得到了一个本质上和不可测相等的概念。

解决这个矛盾的方法是，将0赋予a，承认可数个0相加可以不等于0.因为在实数中，0是唯一的无穷小。】

确实如此。在自然数集上不存在同时满足

1.1、可数个0相加只能等于0.

1.2、测度的平移不变性

的概率测度。

违反1.2，可在自然数集上赋上任意的概率，这在概率论中很有用。

违反1.1，也可建立数学上有用的理论，Robinson在1960年代初发明的非标准分析就是一例。在非标准分析中，在自然数集上赋上了一种测度m，对自然数集的任意子集B, C，m有如下性质：

（1）若B是有限集，则m(B)=0

（2） m(B), m(B在自然数集中的补集)中必有一个为0，一个为1

（3）若m(B)=1, m(C)=1，则m(B交C)=1

（4）若m(B)=1，B是C的子集，则m(C)=1。

用选择公理可以证明这样的测度m是存在的。不过，人们还不能给出样的测度m的一个具体例子。

在非标准分析中，Robinson将实数集扩大到超实数集。在超实数集中，除了实数，还有很多别的数，包括很多无穷大，很多负无穷大和很多无穷小。在超实数系上，可以用无穷小语言严格地建立微积分的数学基础。非标准分析还成功地应用于很多别的涉及无穷个元素的数学领域。

所以，重要的是能得到数学上有用的结果。

3、潜无穷的问题

关于实无穷、潜无穷的问题，这并不是哪一方对哪一方错的问题，而是依据实无穷的观点可以建立实数理论，可以建立勒贝格测度论，可以建立勒贝格积分理论，在数学上大有用处。而潜无穷的观点，并没有得出数学上有用的结果。所以，现代数学家们普遍接受实无穷的观点。

李振华先生说【不过，一个潜无穷集并不难想象，我们假设n是无限变大永远保持有限的自然数，那么集合{1,2,3,...,n},{1,2,3,...,2n}都是潜无穷集，基数分别是n和2n，前者是后者的真子集，且基数小于后者。就像7可以对应一个基数为7的集合，趋向无限也可以对应一个基数趋向无限的集合。仅仅是因为课本上不讲所以就认为不存在，这样的理由也太缺少生命力了。

同样的道理，0.999....9（n个9）,0.999...9(2n个9)是位数无限增加永远保持有限的潜无穷小数，前者与1差了一个潜无穷小量0.000...1(n-1个0)，后者与1差了0.000...1(2n-1个0)。前者小于后者，与1的差则大于后者。】

在非标准分析中，Robinson将无穷实数列定义为超实数，在其理论中，超实数（0,1,2,3…）小于超实数（0,2,4,6…），将0.999....9（n个9）记为a_n, 0.999...9(2n个9) 记为b_n，则超实数（a_0，a_1，a_2…，）小于超实数（b_0,b_1,bv2…）小于超实数(1,1,1…)=1。1-（a_0，a_1，a_2…，）和1-（b_0,b_1,bv2…）都是无穷小。