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Bertrand悖论浅析1/3图片

已有 4290 次阅读 2017-6-21 23:37 |个人分类:其他|系统分类:科研笔记| Bertrand悖论

主贴:Bertrand悖论浅析02  

x-y坐标中大圆半径为2a,若任意弦长大于内接正三角形边长的概率为1/3,则弦的中点在三个坐标系的分布情况如下:

第一图是r-θ坐标系,中间的竖线为r=a,此时弦长为内接正三角形边长。r>a的部分,点的密度较大,意味着弦长小于内接正三角形边长的概率较大。

第二图是x-y坐标系,感觉接近圆周处密度更大,

第三图是φa-φb坐标系,点是均匀分布的。

φa-φb坐标系中,φa相同的点构成了直线,φa=bb为常数。

这些直线在x-y坐标系中构成了同心圆x2+y2=2a2+2a2Cos[b]

r-θ坐标系仍为直线,方程为:r2=2a2+2a2Cos[b]。同心圆的半径间距随着半径的增加而减少,靠近圆周处弦的中点更密集。

φa-φb坐标系中,φb相同的点构成了直线,φb=bb为常数。

这些直线在x-y坐标系中构成了一系列半圆。

r-θ坐标系中可以推出r2Cos[2θ-2b]成线性关系。从图上看,同样是靠近圆周处弦的中点更密集。

Mathematica程序:10.5可以修改,改成0.5212就能得到这9个图像


另外两种:

1.概率为1/2时,弦的中点在r-θ坐标系中均匀分布。

3.概率为1/4时,弦的中点在x-y坐标系中均匀分布。




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