学过数学分析的人都知道“有限覆盖原理”，讲的是闭区间【a，b】可以被有限个开区间覆盖，这个原理与实数集中其它几个公理是等价的，由此就有了实数的完备化理论，数学分析的逻辑严密性得已保证。我在这里要讲的是影响实分析理论的覆盖引理，至于数学中的其它“覆盖引理”留待以后讨论。

    20世纪初勒贝格建立了以它名字命名的积分论和微分论，克服了黎曼积分的不完备性（粗略地说，一列黎曼可积的函数，其极限函数可能不是黎曼可积的），这是数学史上光辉一笔，无论何种评价都显得不过分。勒贝格积分论中有一个重要的定理叫“勒贝格微分定理”，讲的是函数积分平均值几乎处处收敛于函数值（相对于勒贝格测度而言），这个定理是勒贝格发现的最伟大定理之一（另一个是“勒贝格控制收敛定理”）。现今的实分析课程（就我目前看到的任何一本教材）在证明这个定理时都用的是覆盖引理，利用覆盖引理证明勒贝格微分定理首先是由Vitali给出的，由此Vitali覆盖引理便得名。之后，Besicovitch利用另一形式的覆盖引理（现在称为Besicovitch覆盖引理）讲勒贝格微分定理推广到Radon测度情形。值得一提的是，最初的勒贝格微分定理中积分平均是取在一列球上的，Morse发现对具有某些“正则性”的集合，这个定理依然成立。

    Hardy-Littlewood-Wiener最大值定理断言L1空间不能被最大值算子映到L1中，而被映到弱L1中。这个定理最简洁的证明方法就是利用一般的覆盖引理（有时也称为Whitney覆盖引理）。之后Calderon和他的导师Zygmund将这一结果推广到经典的奇异积分算子（在那里他们利用Calderon-Zygmund分解引理证明的，其实这是与覆盖引理密切相关的一个技巧）。由此可知覆盖引理在证明数学其它重要定理时发挥的作用。

    关于覆盖引理更多的信息，有兴趣的读者可以参考“Differentiation of integrals in Rn”和“Geometric measure theory”.