抗击疫情，匹夫有责；齐心协力，众志成城。亿万民众，狙击病毒；磅礴凝聚，气壮山河。

要写的内容一个多月前在脑中便已成形。中间历经春节欢庆、宅家抗疫，已淀去急于书写的浮躁之气，终至今日有淡然欲出之感。

还是书接前文，“根据吴京生和李罗权两位先生40余年前的工作，即便是洛伦兹因子γ=1.002级别的弱相对论电子，也不可以完全忽略相对论效应对波粒共振作用的影响；不仅不能忽略，这一很弱的相对论效应在很大程度上改变了波粒共振作用的物理图景，使得参与共振作用的电子数量大为增加，如此才将“自由散漫”的电子们组织起来、凝聚起来，产生相干辐射的“磅礴”力量。这是为什么呢？”

这话摘自之前的博文，已适当修订。前三篇系列博文名称（与链接）如下

    电子回旋脉泽辐射之与波共浪之：

           （一）与波共舞、与波共振；与波共鸣、与波共浪

           （二）如何凝聚相干辐射的磅礴力量？

                    凝心聚力、同频共振之相干辐射

还需摘抄完整波粒作用共振条件如下：

 w - k_zv_z = nw_ce = nw_ce0/γ

w_ce0=eB₀/m_e0，γ=（1-v²/c²）^-1/2，v²=v_z² +v_⊥²

式中w为波频，已设定均匀背景磁场沿z方向，则k_z与v_z分别为平行波数和平行速度，v_⊥为垂直速度，n是整数；w_ce0表示静止电子回旋频率，γ是洛伦兹因子，考虑相对论效应时，电子质量增加，故需将其回旋频率修正为w_ce=w_ce0/γ。之前已详细介绍过该条件，可直译为：当Doppler频移后的波频与相对论电子回旋频率整数倍相等时，可发生波粒共振。

若完全忽略相对论效应，即令γ=1，则w_ce与电子速度无关。对于特定的磁场强度、波频和平行波数，共振条件只与电子平行速度有关，也就是说电子的垂直运动不参与波共振作用过程。要知道，辐射电磁波的一种主要表现形式就是波场（电场和磁场）的左旋和右旋，而电子的垂直运动即为绕磁场的右旋运动，当波场旋转频率和方向与电子的旋转频率和方向等同时，电子会在一定时间内体察到相位不再变化的电场，就会发生所谓的回旋共振。若忽略相对论效应，便剥夺了这一回旋共振发生的可能性。

如何将这一可能性纳入进来？吴京生先生在其《探索日地空间物理》一书中也有所说明“… 为什么我认为相对论效应重要呢？应当承认，在当时这只是一种直观的想法：我们需要一种广义的回旋共振，它涉及电子的垂直速度分量，从而定性地改变回旋共振的条件…”，原创者的动机已很明确。

当考虑相对论效应时，只需将共振条件两侧均乘以γ再平方，则这个方程就化成v_z和v_⊥的二次方程。如果建一坐标系，令横坐标为v_z纵坐标为v_⊥，称为速度空间坐标系，则对于给定的磁场强度、波频和平行波数，可将表示v_z和v_⊥函数关系的共振条件用一曲线表示，该曲线即为速度空间共振曲线。

不考虑相对效应时，共振条件只与v_z有关，表示一条与纵轴平行的直线；而考虑相对论效应时，共振条件化为二次曲线方程，恰是一椭圆。注意，由于v_⊥=（v_x²+ v_y²）^1/2>0，仅上半椭圆具有物理意义。

下图展示了两例常用的粒子的速度分布，用相应速度区间的粒子数等值线表示。中间的等值线表示粒子数最大的区间，由内向外粒子数依次下降。上图为忽略相对论效应时的共振直线，下图为考虑相对论效应时的共振曲线---椭圆。

图题：左图中就是吴和李在1979年一文中所采用的速度分布，是由电子在大尺度的不均匀磁场中运动时，由于磁镜反射和磁场约束所导致的速度分布，可见速度分布中沿横轴（v_z）方向缺失了一部分电子，因而称为损失锥分布；右图中也是一种常用的速度分布，在纵轴（v_⊥）较高数值处出现了较多数量的电子，称为DGH分布，DGH是三位研究者名字的首字母。

根据定义，只有那些位于共振曲线上的粒子才会参与到与波的共振作用，导致波的激发或衰减：那些满足辐射激发脉泽条件（即粒子数反转条件：随速度增加粒子数也增加）的粒子会导致波的激发，而那些同样位于共振曲线，但对应于不“反转”区域的粒子会造成波的衰减。故可通过比较共振曲线上满足和不满足反转条件的粒子数量的多寡来大概判断波能否激发。

观察共振直线，当平行速度增加时，最先与速度分布等值线相交的区域对应于粒子分布反转区，已经用绿色箭头示出；而随着速度的增加，该直线很快穿入不满足反转条件的区间。一般情况下，沿共振直线前者分布区域很小，导致波无法被共振激发。而观察下方的共振椭圆，所经粒子数反转区呈大概沿水平方向的弧形，相对于共振直线的直接竖直透过，显然是大大扩大了，而且所经粒子数不反转区也大为削减。

一消一长，孰优孰劣，甚是显著！

以上论述中并没有直接回答：为何相对论效应非常之弱，仍不能忽略其影响的问题。针对这一问题，需更加定量地分析共振条件。当相对论效应很弱时，近似有γ=1+v²/2c²,则共振条件易改为

 w - k_zv_z = nw_ce0(1+ v²/2c²)

故相对论效应引起的修正项就是w_ce0 v²/2c²。要想定量研究相对论效应的重要性，需分析清楚该项与Doppler频移项k_zv_z的相对大小。平行波数k_z=kcosθ, θ是波矢与磁场的夹角。对于波准垂直传播的情况，如取θ=89度，则相应余弦为0.02，而v_z可以小于0.1c，k也可小到零点几w_ce0/c；还有一点，n越大，相对论修正项也越大；而频移项中的(v/c)²大概可取为0.01。如此掐指一算，至少对准垂直传播情形，相对论效应修正项与Doppler频移项相比肯定不可舍弃。对于其它传播方向，也不可以“说舍就舍”。

此外，从所研究的问题---辐射激发机制本身而言，辐射控制方程是包含光速的Maxwell电磁场变换方程（法拉第方程和安培定律）。容易验证，在非相对论情形（取γ=1，等效于取光速为无穷大）下，无法由Maxwell方程组推导出所需的高频电磁波。这也说明，对于辐射激发问题，非相对论假设本身并不“自洽”。

下面一图是将诸多共振椭圆与一速度分布叠加在一起的效果，可以感受其“曲线之美”。而正是位于此类曲线上的电子，才能与波“同频共振，凝聚起相干辐射的磅礴力量”。

曲线之美，曲线之力；共振共鸣，与波共浪。