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证明之“决定系数R^2与调整决定系数adjR^2的相互转换计算方法”

已有 30593 次阅读 2016-5-7 22:40 |个人分类:数据处理与统计分析|系统分类:科研笔记| sum, residual, squares

决定系数R^2与调整决定系数adjR^2的定义请大家自行查阅相关文献或者中英文维基百科。

进入正题,开始“决定系数R^2与调整决定系数adjR^2的相互转换计算方法”的推导过程,各点说明如下。


点1. 各参数计算方式:



点2. 关于样本方差(sample variance 或 var(y) )的计算公式:


点3. 明确一些R^2计算相关英文的缩写:

3.1: TSS=SST    Total sum of squares;

3.2: ESS=RegSS   Regression (Explained) Sum of Squares (https://en.wikipedia.org/wiki/Explained_sum_of_squares);

3.3: RSS=SSR=SSE  Residual Sum of Squares; Sum of Squared Residuals or Sum of Squared Errors of prediction(https://en.wikipedia.org/wiki/Residual_sum_of_squares);

3.4: RegSS = SST - SSE;

3.5: TSS = ESS + RSS (https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_sums_of_squares);

3.6: R^2 = RegSS/SST = 1 − SSE/SST.

3.7: Residual standard error σˆ =sqrt(SSE/(n−k))


点4. SST与方差的关系

由"点1"和"点2"可知:

4.1: SST=(var(y))*(n-1)  即:总平方和 = 样本方差 * (样本数-1)

由此可以推导出在只知道 "Residual Sum of squares" (即SSE)的情况(如Origin 和 R 软件的非线性拟合),R^2的计算公式equation(3)


点5. 决定系数R^2与调整决定系数R^2的换算公式,请直接查阅英文维基百科(https://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_determination)

equation (2):

补充内容如下:

the Residual standard error σˆ =sqrt(SSE/(n−k−1))

即 SSE= (residual standard error^2)*(n-k-1)

#其中“n”为y的样本数,“k”为参数个数(此处k=2,即y=a*x+b中的参数a和b)

∴ R^2 = 1- [(residual standard error^2)*(n-k)] / [(var(y))*(n-1)]



equation (1):


其中“n"为变量y的样本数,“k”为变量个数(如k=2,即y=a*x+b的拟合情况)



小贴士:决定系数R^2和相关系数r^2是两个不同概念,但二者的数值相等,在描述时需要注意。




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