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   聊聊急动度的历史及其未来

尽管急动度（jerk）这个术语的提出^[1]比相对论和量子论早半个世纪，尽管急动度现在作为一个力学概念逐渐以不同的方式进入了基础物理教科书^[2-6]，而且已经成为非线性动力学和混沌理论中的重要工具^[7-18]，但人们对这个概念似乎仍有某种疑惑和误解^[19-21]，了解和关注它的人也还是不多。为了消除疑惑和误解，让更多的人了解它，回顾一下笔者所涉猎到的相关历史事宜，也许是有益的。

              一、作为描写机械运动的急动度

早在19世纪中叶，法国几何学家权孙（A.Transon）^[1] 就考虑到位矢对时间的三阶导数问题。直到1928年，麦桥（P.Melchior）^[22] 明确定义急动度是加速度对时间的导数，并认为加速度的变化快慢会引起人们舒适感的不同。尔后，急动度作为一种技术指标在工程设计中陆续有些应用^[23-26] 和研究^[27]，也开始在力学专著中^[28,29] 介绍急动度概念。同时，人们也开始用三阶微分方程来描写机械振动的动力学问题^[30-33]。

在物理学领域，20世纪初，人们发现带电粒子受其自身电磁辐射反作用的阻尼力就与速度对时间的二阶微商（也即位矢对时间的三阶微商）相关，把它补充到牛顿动力学基本方程中去，便得到著名的阿伯拉罕-洛伦兹运动方程^[34]。原苏联著名物理学家朗道^[35]也明确指出，在相对论情况下，含速度对时间的二阶微商的辐射阻尼力可能是作用于带电粒子上的主要力，并且给出了动力学方程的四度形式。但是此时的物理学尚未引入急动度概念。直到1978年，《美国物理杂志》发表斯科特（S.H.Schot）^[36]的文章“急动度：加速度的时间变率”之后，引起物理学基础理论教学工作者的关注。1981年，黄沛天^[37]把急动度概念介绍给了国人，并提出了力变率概念。国人有时也把急动度称作加加速度^[38-41]。1990年，三丁（T.R.Sandin）^[42]提供了一种关于急动度的教学方案。

在与急动度相关的力学基础理论方面，1991年，梅凤翔^[43]给出了完整系统关于广义速度的Lagrange方程（或称之为“三阶拉格朗日方程”），该方程中的态函数是加速度能量（注：这里的加速度能量并不具有能量的量纲，它只是借用了“能量”一词而已）。接着，吴大猷提出猝量概念，给出了猝量方程^[44]，也即猝量理论，并且指出：猝量可能是三百年来牛顿力学系统中可作补充意义的观念。受猝量方程的启发，黄沛天等人给出了加速度能量定理^[45]，并且提出了变加速动力学一说，也对三阶拉格朗日方程做了简单应用^[46]。马善钧等人^[47-49]开展了对三阶拉格朗日方程的系列研究。还有张相武^[50-52]关于高阶运动微分方程的研究。

这期间，有过一些对急动度概念的疑惑和误解。比如，A.P.弗伦奇^[19]认为：“受一定力作用的物体，其基本动力学与速度对时间的二阶微商无关，也与任何更高阶的速度对时间的微商无关。任何这种复杂性丝毫不出现，这本身就是一个值得注意的结果，就目前我们所知，即使在非常高速的‘相对论’区域里，这结果也仍旧成立。”但实际情况并不像弗伦奇所说的那样。上面提到的阿伯拉罕-洛伦兹运动方程就包含了速度对时间的二阶微商，而朗道则给出了在相对论情况下该动力学方程的四度形式。另外，也有人把一个特殊情况的杜芬方程改写成四阶的自治常微分方程^[7]。这些实际情况都足以消除弗伦奇类型的疑惑和误解。

关于急动度的另一种质疑来自关洪^[20]。他认为，在有关的应用领域内，引入急动度来描写加速度的变化率，并在工程设计（如凸轮形状或铁路轨道的曲线设计）中加以限制，以保护材料或机体免遭过度的损伤，这样做是完全可取的，但急动度没有什么理论意义，力学里不需要这个新概念。他认为，假使在运动方程里添上了三阶项即含加速度时间变率一项，那么通过运动方程分别对空间时间的积分，必定会出现新的守恒定律，从这里得到的“动能”和“动量”的新形式，都必定含有与加速度成正比的项，这就是否定现今形式的能量守恒和动量守恒的有效性。不过，在沈惠川^[44]介绍了吴大猷的猝量理论之后，关洪的观点在一篇短文中也有点变化，他认可了急动度有补充意义，但仍反对可能引入新的三阶动力学方程^[21]。沈惠川对这篇短文也作了简单回应^[53]。笔者估计，也许关洪尚不知道梅凤翔早已给出了三阶的拉格朗日方程，至于通过运动方程分别对空间时间的积分得到的所谓“动能”和“动量”的新形式，应该就是“加速度能量”和猝量方程中的“状态力”吧（关于“状态力”这个概念笔者将另行撰文阐述），但这也没有否定现今形式的能量守恒和动量守恒的有效性。因此，关洪的质疑也是无力的,是多虑了。

                二、急动度概念的泛化

随着科学的发展，20世纪后半叶，在非线性动力学和混沌理论蓬勃发展的大潮中，斯普若特（J.C.Sprott）^[7]、林兹(S.J.Linz)^[8]和哥特里卜(H.P.W.Gottlieb)^[9]等人把急动度概念泛化为一般的某个自变量的急动度函数（jerk function),用以描写一般的猝变运动（jerky motion),由此创立了猝变动力学，并进行了一系列的基础性研究^[10-17]。比如，著名的洛伦兹混沌模型和若斯勒混沌模型就可写成猝变动力学形式^[8]。而且，林兹^[8,10]还给出了猝变动力学和牛顿力学的关系,由史瓦兹定理引伸出牛顿猝变动力学，并在牛顿动力学方程中引入了一个所谓“记忆项”（memory term）的积分。冯贝叶（H.C.von Baeyer)^[18]对他们的工作做了很高的评价，认为是“从传统力学到新科学的革命。这种新科学不是仅仅狭隘地与实体运动相关，而是与各种变革有关。”冯贝叶认为，急动度概念的历史，就像被人遗弃的“破布”变成了受人追捧的“财宝”：急动度从开始的被受冷落和模糊荒谬的术语，到在人类智慧的升华中赢得一个受到尊重的位置。黄沛天等人^[54]对猝变动力学也作了相关的评述，并介绍了为物理教育硕士班提供的一个了解猝变动力学的基本框架。

随着猝变动力学方法的延伸，人们又研究了高阶的所谓超急动度混沌系统^[55]和超猝变系统^[56]行为的描写方式，这些都属于非线性高阶微分方程描写了。

对于急动度与混沌之间的微妙关系,黄沛天等人^[57]作了专门的评述。实际上，急动度之所以成为描写混沌问题的新工具，源自混沌问题的解是非解析性的，因此，混沌问题的解只能在相空间中用自身不相交的相轨线描写，但是在牛顿力学以位置和速度构建的二维相空间中无法绘出这种不相交的相轨线，而只有在以位置、速度和加速度构建的三维相空间中才能绘出描写混沌问题的相轨线。由此可见，在这种三维相空间中的加速度必须是变量！那么，描写加速度变化率的急动度也就跃然纸上了。或者说，以急动度概念为代表的变加速动力学和猝变动力学应该是非线性动力学和混沌动力学的一种起始台阶。

在急动度泛化的思潮中，人们还企图捕捉其他的一些灵感，比如，黄沛天等人^[58]提出了几个电磁猝变动力学的概念,并将相关概念应用于三阶Lagrange方程的描写^[59]，尔后，基于急动度在基础科学中的地位，他们还作了相关的科学哲学的概括^[60]。

             三、急动度的未来

这里或许可以从两个层面的研究动态来展望急动度的未来。

1、急动度效应

在工程技术层面，各种设计之所以需要考虑急动度，正是由于过大的急动度会导致人的不适和对物质材料性能结构的损害。过大的急动度可能出现在航空航天领域，也可能出现在“过山车”之类的遊戏之中。它对人体造成的不舒适感可以从心理上的恐惧感，到生理上对血液循环和血压的影响。目前，已经有人开始尝试对这种有关舒适性的急动度效应进行细致测量^[61-63]和研究^[40，64]。显然，这种研究不仅对交通业、建筑业以及航空航天事业乃致竟技体育^[65]事业的发展至关重要，而且对心理学和生理学的发展也有推动作用。对于影响物质材料性能结构的急动度效应（或称“力变率效应”）的细致测试研究，虽然至今尚未见到，不过，徐绩青等人^[66]阐述了急动度在结构动力学中作为结构动力响应的第四大要素的重要意义。因此，可以说，急动度也将推动结构动力学的研究和发展。

2、基础理论层面

就变加速动力学来说，虽然人们给出了三阶拉格朗日方程，也尝试了它的简单应用，但猝量方程、加速度能量定理和高阶动力学方程等基本公式的实际应用价值几何？人们尚不得而知。或许在等待时机吧，而这种时机或许更多存在于非线性动力学之中。

对于猝变动力学来说，由于它原本就是急动度泛化到非线性动力学和混沌问题的讨论时建立起来的一个学术领域，因此，急动度作为一种新的工具，比如由此而引伸出的急动度电路^[15,16,67]等问题的研究，将使混沌问题的描述更臻完美。而急动度方程（三阶微分方程）的性质和求解（无论是混沌解或周期解）问题的研究将推动基础数学的创新和发展。

另外，从黄沛天等人^[68]关于牛顿猝变动力学的讨论中可以看到，由某种具有周期解和新守恒量的线性牛顿猝变动力学方程可以延伸出“类似的拉格朗日方程”。这应该视为与变加速动力学的一种呼应，二者可以携手共同发展。也正如黄沛天等人^[69]所指出，这种学科交叉发展的势态可能使变加速动力学和广义猝变动力学成为经典力学的一个新的生长点。

                  四、结束语

从以上对急动度概念的简单历史回顾和未来的展望，使我们感觉到，急动度犹如一位正在甦醒的睡美人。不过，其阿娜多姿的内涵还须继续仔细去发觉。这既要继续深入细致地发觉新的事实（比如急动度效应、力变率效应等），更需要不断推动新概念（比如猝量、加速度能量、三阶拉格朗日方程、牛顿猝变动力学等）的研究和发展。比如，林兹^[10]在讨论牛顿猝变动力学时，给出的动力学微分积分方程中被称作“记忆项”的积分表明：加速度并不严格与瞬时力相关！传统牛顿力学似乎难以接受这种概念，而这也正是牛顿力学概念需要发展的体现。因此，人们必须认真面对。也可以说，科学的发展更看重概念的发展。急动度概念的发展史也明镜似地支持哈佛大学前校长科南特（J.B.Conant）^[70]的论断：“科学不是随着新事实的积累而发展的，而是随一些有效的新概念的不断发展而发展的。”

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