管克英

北京交通大学理学院

摘要：本文以光滑空间闭曲线的旋转数为例，提出针对微分几何研究对象的一种“微分拓扑”不变量的概念，论证了 Frenet 空间闭曲线的旋转数在保持 Frenet 性质的微小光滑变换下是一个微分拓扑不变量，给出了旋转数发生变化的条件。

        如果将一个球面，环面，或将一个空间封闭曲线做连续的变形，只要保持不发生扯破，粘连，它们的一些内在性质就会保持不变。例如空间封闭曲面的洞数（球面为零，环面为1），空间闭曲线的扭结类型（参考【1】）等，它们在这种拓扑变换下是不变的（参考【2】）。

         研究类似于上述几何问题是拓扑学的主要任务。这种研究非常重要、有趣而且非常复杂。         

         注意到微分几何学研究的曲线与曲面等几何体一般都是光滑的，如果要求这类几何体在变换时还保持光滑性及其它相应的微分几何条件时，几何体可能还存在其它类型的不变量。例如某些类似于球面的光滑闭曲面上出现了若干光滑的类似于小山的凸丘，也可能存在若干凹陷部分，无扭结的光滑闭曲线可能存在不同的旋转圈数等。虽然光滑的曲面上的凸丘数或凹陷数，闭曲线的旋转圈数都不必是拓扑不变量，但从微分几何的角度看，它们却可能是保持某种微分几何特征的光滑变换下的“微分拓扑不变量”。这些不变量在现实应用中可能也非常重要，例如要使一个钢制凸曲面产生凸丘或凹陷，或反之使局部的凸丘、凹陷被修复，或改变一个钢丝绳闭圈的旋转圈数时，这些操作往往会引起弹性材料强烈变性（如出现塑性变形），甚至发生破裂或断裂。

         这里必须指出，上述的微分拓扑不变量的概念与研究只是作者近来的一种尝试，相应的理论尚需严格地定义与论证。本文仅针对空间光滑闭曲线做较深入的探讨。

       由于难于在网页上输入较多的数学公式、图片，而且尝试多次都保存不住， 所以只好将本文整体写成 pdf 文件附在下面。欢迎感兴趣的网友一读，批评指正，更欢迎合作。

（2018年8月5日修改）

旋转数(8月8日修改版）  .pdf