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微积分学习笔记（4）——“微分”：万古乾坤一阴阳
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微分是微积分中最关键的一个概念，但是此概念从定义开始就存在一系列的逻辑漏洞，师教民先生《微积分之迹新探索》中提出了几个问题。
无穷小究竟小到多少？
微分dx真正微到什么程度？
微分dx与0到底什么关系？
微分dx与增量Δx有何区别？
熟知非真知，这个问题没那么简单。本文转载一个篇对微分定义及其引发的相应逻辑问题分析的文章，个人觉得写得很不错的。此文已发表在2012年第一期的《数学学习与研究》上。下面是摘录的一部分。
现行微积分体系缺陷的思考
1 Cauchy—Lebesgue微积分原理体系演化历史
微积分早期演化的一条主线是自柏拉图，经阿基米德、伽利略、卡瓦列里和巴罗的量变积累，到牛顿发生根本质变，形成了运动学特征的微积分；另一条主线是自德谟克利特、开普勒、费马、帕斯卡和惠更斯的量变积累过程，到莱布尼兹发生根本性质变，形成了原子论性质的微积分。I.Newton在1665-1667年间所做的工作和G.Leibniz在1672-1676年间所做的工作就分别是这两条主线上的各自的质变。它们是微积分演化史上不朽的里程碑。以此为标志，我们称以前的微积分演化历程为微积分演化史的第一历史阶段，称此后到1821年为微积分演化的第二历史阶段。
第二个历史阶段，不仅是微积分演化史中最辉煌的历史阶段，也是整个科学发展史中最辉煌的历史阶段之一。在这个历史阶段中，不仅形成了被恩格斯誉为“人类精神最高胜利”的本初微积分，而且，还形成了微积分的各分支科学和以微积分方法为工具的众多门科学。
微积分演化的第三个历史阶段从1821年至今。第三个历史阶段又可分为上叶和下叶，其分期在1850年前后，标志是Dirichlet函数、Weierstrass函数、Thomae函数和Volterra函数等的构造。Cauchy—Lebesgue微积分原理体系指的就是微积分演化历史的第三个阶段[1]。1821年，A-L.Cauchy出版了《分析教程》，1823年，又出版了《无限小计算教程概论》。这两部著作建立了极限理论，并以此为工具建立了全新的微积分原理，以这两部划时代的著作为标志，微积分演化史进入了第三个历史阶段的上叶。进入微积分演化史的第三个历史阶段的下叶，V.Volterra、L.Bell和H.Lebesgue等多位数学家，尤其是Lebesgue集前人之智慧，用G.Cantor的集合论解决了怪异函数的可积性问题，并建立了Lebesgue积分，其标志是其1902年撰写的博士论文《积分、长度和面积》。从此，实变函数和现代分析建立起来，数学界公认并宣布微积分完善[2]。
应该指出的是，在微积分的第三个历史时期，科学虽有重大突破，但不是微积分的功绩，比如，相对论、量子力学、基因工程、计算机工程等。除将分析引入复数领域外，微积分的分支学科和以微积分为支撑的自然科学发展得很有限。最有说服力的是科学家S.Poisson的科研实践，Poisson在积分理论、行星运行理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论领域都做出了重要贡献。在微积分原理问题上，他与现行微积分原理持相反的态度。“S.D.泊松在其《力学论著》中大量使用无穷小法，这本书在19世纪上半叶多次再版，很久以来就是一本标准著作。他认为这些量‘小于任何同类性质的给定量’，是真实存在的，而不仅仅是‘几何学家想象得一种研究方法’。因此，他认为，微分学的目标就是求无穷小之比。”按理说，有了“严格分析奠基者”Cauchy和“现代分析之父”Weierstrass建立起的严密而完整的微积分，微积分分支学科和相关学科的发展应该远远超过前一个时期，可科学实践证明答案并不是这样。相反，科学实践一再证明， 以“直”代“曲”的推演和计算是精确的（而非近似的）；科学实践一再证明，积分是微分的直接累加（根本不须再求极限）。
二 Cauchy—Lebesgue微积分原理中微分定义的缺陷
如上两种偷换概念的做法在Cauchy—Lebesgue体系的微积分原理中是具有代表性的做法，这是科学所不允许的。然而，Cauchy—Lebesgue体系的捍卫者却反驳说：“数学仅仅是一个形式体系，它不是一个物理体系，Cauchy的微分定义不面对复合函数，因此，Cauchy—Lebesgue体系是无懈可击的。”如果是这样，微分的不变性是不是针对复合函数而言的[8]？复合函数求导又是针对什么？没有复合函数思想，隐函数形式、参数方程形式和极坐标形式的求导又如何解释？不定积分的两类换元法还有成立的依据吗？微分方程中的变量替换方法如何解释？事实上，即使是Cauchy—Lebesgue流派的数学工作者，也有发现其错误并悄悄做改动的[3,8,9,,10]，但改动后仍存在一些问题；还有就干脆回避微分的。这至少说明，很多数学家在此问题上也存在困惑，但是他们没有直接把困惑说出来，而是变相的修改。
参考文献
[1]李文林. 数学史概论. 北京:高等教育出版社,2011
[2]William Dunham.微积分的历程——从牛顿到勒贝格. 人民邮电出版社，2010
[3] 辛钦. 数学分析八讲. 人民邮电出版社,2010
[4] 同济大学数学教研室编. 高等数学. 高等教育出版社, 1999
[5] 张筑生. 数学分析新讲. 北京大学出版社,1990
[6] T.M.菲赫金哥尔茨. 微积分学教程. 高等教育出版社,1980
[7] C.M.尼柯尔斯基. 数学分析教程. 人民教育出版社,2006
[8] Γ.Ѝ.阿黑波夫,萨多夫尼奇,丘巴里阔夫. 数学分析讲义. 高等教育出版社,2009
[9] B.A.卓里奇. 数学分析. 高等教育出版社,2006
[10] A.Π卡尔塔谢夫，B. Л罗吉斯特维斯基. 数学分析. 内蒙古大学出版社
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“微分”概念正解可能在中国古典哲学中
引科学网张志东老师的话
我曾经提到：博士刚刚毕业的时候，对混沌理论和分形理论特别感兴趣，花了好几年时间学习和研究，想用混沌理论和分形理论来阐述“太极图”。 结果是头破血流，大败而归。本来想等出关时写一篇博文向大家介绍一下我当时的思考。正好昨天杨玲提及“两个空间是互嵌套的。就像太极图互抱的阴阳鱼一样，不同性质的物质运动于不同空间。”我就在附件里附上几张我的“太极图模型”的演变过程。模型很简单，假定互抱的两条阴阳鱼的边界上各点的速度正比于其与过两个鱼眼连线的距离y0，然后就看边界上各点的运动情况。可以看到两条阴阳鱼分别游进对方的区域内。由于这是大约15年前的工作，受当时要用绘图仪画图的条件限制，图很粗糙，也没有办法画出运动更多圈的状态。大家可以想象，如果两条阴阳鱼分别游无限大圈，正好是完全地相互镶嵌的两个空间。其中一条阴阳鱼的边界上每个点的最近邻就是另一条阴阳鱼的点，阴阳空间紧密地联系在一起，形成一个不可以具体地分辨阴阳的很混沌的状态。与混沌理论和分形理论的面包师变换很类似。也可以说是演示了从两个有序的相（状态）向无序相（状态）的转变过程。这就是我十几年前很失败的无法在国际学术刊物发表的“道学研究”结果。无论如何，我还是坚信，将我国古人的哲学思想与现代物理的理论相结合是一个创新的途径。坚持下去，找对切入点和突破口，就一定能大放光彩！
天地间万事万物都赋阴阳二气所生
《红楼梦》是一部奇书，文学写作奇，思想奇，更在于曹雪芹把自己一生的学识，对哲学、中医、诗词、建筑等各种见解都用一部小说阐述出来了，是一部真正小说体的百科全书。
《红楼梦》中有一段史湘云论阴阳的精彩文字，摘录如下：
史湘云： “天地间万事万物都赋阴阳二气所生，或正或邪，或奇或怪，千变万化，都是阴阳顺逆，多少一生出来，人罕见的就奇，究竟理还是一样。”
翠缕道：“这么说起来，从古至今，开天辟地，都是些阴阳了？”
湘云笑道：“糊涂东西，越说越放屁。什么‘都是些阴阳’，难道还有两个阴阳不成？‘阴’‘阳’两个字还只是一字，阳尽了就成阴，阴尽了就成阳，不是阴尽了又有个阳生出来，阳尽了又有个阴生出来。”
微分=阴阳鱼？？？
无穷分割往下走，不知"老子"已在等?
https://wap.sciencenet.cn/blog-539894-541583.html
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