机构是机械装备的骨架，是组成机器的基本单元。近年来，日益扩展的机械装备应用需求推动机构拓扑结构由单一的平面结构向复合的空间结构发展，由简单开环结构向耦合多闭环结构发展，如展开机构、折纸机构、并/混联机构等。并联机构因具有刚度大、承载能力强、误差小、精度高、自重负荷比小等一系列特点而被作为多种机器人制造装备的主机构，并联机器人机构学也成为国际机器人研究领域的热点和前沿。

机械装备的功能，即能完成的运动，由机构的自由度描述。国际机构学与机器科学联合会（IFToMM）将自由度定义为确定机构或运动链运动的独立运动参数的数目。自由度是机构最重要的基本性质之一，自由度计算和分析是机构学研究中的基本问题。

研究机构的自由度不仅要得到自由度的数目，还要掌握机构自由度的性质，即转动、移动或二者的合成运动（即螺旋运动）。此外，通常情况下，人们希望机构的自由度数目和性质在整个空间不变，具有连续性，以保证机构的正常工作。对于近年来涌现的大量新型少自由度并联机构，原有的机构自由度计算公式如Grübler-Kutzbach公式等在新问题前显得力不从心，很难得到正确的结果。尽管基于螺旋理论的并联机构自由度分析方法已经得到广泛应用并被实践证明普遍有效，但由于螺旋本身的瞬时性，学术界对于该方法所得结果是否为连续自由度，在数学的严密性和完整性上仍存有部分争议，这就对少自由度并联机构的自由度计算和分析提出了新的挑战。

并联机构属于多环闭链机构，奇异是其固有特性，其本质是运动约束条件在某一特殊位形下发生线性相关而失效。当并联机构处于奇异位形时，其动平台变得不可控，具体可表现为出现死点、失稳等。一般情况下，并联机器人装备在实际应用中必须避开奇异位形，因此掌握并联机构奇异位形在工作空间的分布规律（又称奇异轨迹）对于并联机构的设计、轨迹规划和控制至关重要。

并联机构的奇异轨迹在几何上是一个多维曲面，在代数上可用以位姿参数为自变量的多项式表示，尽管各国学者对此做了大量工作并取得众多成果，但在现有奇异研究中一般很难获得奇异轨迹的解析表达式，存在代数性质和几何意义割裂、难以描述奇异总体空间分布规律、缺乏可用于指导设计的评价奇异接近度的性能指标等问题。

几何代数又称为Clifford代数（Clifford algebra），是由英国数学家Clifford通过定义几何积将Grassmann代数和Hamilton代数统一在同一框架下创建而成的。几何代数中保留了Grassmann外积定义，注意到Grassmann外积的定义是两个一维矢量的外积为一个二维矢量（面），三个一维矢量的外积为一个三维矢量（体），如此类推；因此，在几何代数框架下，多维几何元素可以直接运算，在表达和计算效率上具有巨大优势。20世纪60年代以来，几何代数作为一种统一的数学物理语言逐渐在量子物理、机器视觉、机器人学和图形图像处理等领域得到广泛应用。

少自由度并联机构的运动和受力情况在数学上可以抽象成四个子空间：许动子空间、约束力子空间、传递力子空间和限动子空间。少自由度并联机器人机构学研究可以归结为这四个子空间自身及它们之间相互关系的研究。由于子空间可以抽象为多维几何对象，而几何代数框架为复杂多维几何对象提供了原生数据结构和算法，这就使得我们有可能运用几何代数求得这四个子空间的解析表达式，从而为解决少自由度并联机器人机构学研究中的难题提供重要帮助，这也正是作者撰写本书的出发点。

本文摘编自李秦川，柴馨雪，姚辉晶著《并联机构自由度计算与奇异分析的几何代数方法》前言部分内容，略有改动。

《并联机构自由度计算与奇异分析的几何代数方法》

作者：李秦川，柴馨雪，姚辉晶

责任编辑：朱英彪，赵晓廷

北京：科学出版社，2019.9

ISBN：978-7-03-060529-0

本书提出了几何代数框架下的少自由度并联机构自由度分析方法，进而在运动和约束分析的基础上对并联机构的奇异性进行分析。全书共12章，第1章为绪论。第2章和第3章介绍几何代数基础知识，在几何代数框架下对运动空间和力空间进行描述，给出它们的映射关系，对过约束并联机构产生冗余约束的原因进行解释。第4～7章介绍几何代数框架下的并联机构自由度的约束求并和运动求交的分析方法，选取不同自由度的并联机构进行详细分析。第8～12章基于几何代数框架下描述的运动空间和力空间，对并联机构的运动和约束进行求解，从而根据运动和约束之间的线性相关性对并联机构奇异性进行分析。

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