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从线性代数到泛函分析之一(正算子和正矩阵)

已有 7702 次阅读 2012-4-17 19:37 |个人分类:泛函分析Rudin|系统分类:科研笔记| 矩阵, office, face

正算子和正矩阵1.pdf

          正算子和正矩阵 (Bob

今天翻阅泛函分析时候,突然遇到正算子的概念,在此略作一点注记。应该说数学里面提到的正矩阵,不同的分支里面含义不大一样,总的来说,有以下两种。

1:正定矩阵 ;2:正矩阵(矩阵的元素全为正数),应该来讲从几何背景上看,正矩阵不如正定矩阵自然。基本上通常的高等代数都会花一定的篇幅来讨论正定矩阵,通常大家会对正定矩阵的各种性质了如指掌,比较而言,对于正矩阵,肯定不是非常熟悉。正矩阵应该来讲有一条最为重要的性质就是,正矩阵必有一个特征值为正数,并且这个特征值对应的特征向量为正数,并且该特征值的重数为1。正矩阵的这条性质在经济学和符号动力系统上有非常重要的应用。

2:正定矩阵在无穷维Hilbert空间的自然推广,就是自伴正算子;正矩阵在无穷维上也有推广,一般称为Perron-Frobenius-Ruelle算子,在求不变测度通常会遇到的一类算子。

Hilbert空间H上自伴正算子的定义,显然当,并且(,)表示标准内积时候,正算子将会自然对应,正定矩阵。

对于正定矩阵,有很多重要的不等式,其一就是高维柯西不等式的推广,一种自然地表述就是,利用内积形式写为,当然对于复数域上也有类似的形式。

值得一提的这个不等式对于无穷维Hilbert空间仍然保持,证明想法和通常的Cauchy不等式证明过程并无太大区别。

如果对于某些y,则不等式显然成立。

其他情形,我们可以自然得到

关于Ruelle算子,相对比较复杂,将会在后续的内容中介绍。

在矩阵论中,关于对称矩阵(对应于自伴算子),有非常有用的Max-Minimal不等式,这个式子蕴含的内容非常深刻,对于无穷维空间中也有非常有意思的对应,今后将会提到。



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1 杨华磊

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