我们知道，给定一个空（时）间滤波器，既可以在空（时）域直接完成数字信号的滤波，也可以在频域完成。空域滤波的数学运算为卷积/相关，对应频域则为点乘/频域数据的共轭（G*）与滤波器(H)的乘积。

简单起见，以一个1D数字信号为例加以说明。

例如：给定信号x = [1 2 2 4 4]，滤波器h = [1 2 3]；

空域滤波（卷积）为：

y = conv(x,h,’same’); % 此处未考虑h系数的归一化问题

则滤波结果为：

y = [4 9 14 18 20]

下面介绍频域方式的滤波过程。由于时域滤波属于有限序列的线性卷积，频域滤波方式实际上是利用离散傅里叶变换（DFT）求时域线性卷积的过程，而DFT本质上是对应时域滤波中针对周期序列的循环卷积。要满足循环卷积与线性卷积计算结果一致，时域信号x(m点)与滤波器h(n点)必须等长。这可以采用补零的方法，使x与h的长度均为L≥m+n–1。这样做的目的，也是为了避免周期函数卷积中因周期靠近引起所谓的频率缠绕错误（混叠）。

一般做法是，对空（时）域数据采用后端补0方式延拓至2倍数据长度。

信号延拓：  xp = [1 2 2 4 4 0 0 0 0 0];

由于滤波器h与延拓后的信号xp应保持相同的长度，故也需要补0做延拓。有两种方式：

(1) 双边延拓，滤波器h居中

hp = [0 0 0 0 1 2 3 0 0 0];

(2) 单边延拓，滤波器h居左

hp = [1 2 3 0 0 0 0 0 0 0];

然后，分别对xp,hp做DFT，完成频域滤波并做反变换，即

y = real(ifft(fft(xp).*fft(hp)));

最后，剪裁掉补0多出的后半部分数据，即保留主值序列。则两种方式得到的滤波结果分别为：

y1 = y(1:5) = [12 0 0 0 1]; 和 y2 = y(1:5) = [1 4 9 14 18];

可以看出，第一种延拓，滤波结果与空域结果完全不一致。第二种延拓与空域结果基本一致，但在左右短点处（边界部分）是不一致的。这里，第二种延拓也等价于：

y = real(ifft(fft(x,10).*fft(h,10)));

从傅立叶变换的时域性质知道，两种延拓的频谱是一样的，但相位会发生变化。因此，第一种延拓（两端补零方式，h居中）是不可取的。第二种延拓与空域滤波结果基本一致，但边界上有差异。那么，如何消除这种边界差异，达到与空域考滤波完全一致的结果呢？

我们只要在滤波器h延拓方式上稍作改动，即把空域滤波器中心元素放到最前段（起始点），左端被挤出的元素顺序放在尾部，即所谓的循环移位（circularly shift）法，则有：

hp = [2 3 0 0 0 0 0 0 0 1];

再按以上的相同步骤进行滤波处理，可得：

y = [4 9 14 18 20];

频域滤波与空域滤波的结果就可完全保持一致。

假如，空域做的是相关运算来完成滤波，那么，只要滤波器旋转180度后，采取同样的0填充方式。

显然，以上方式很容易推广到二维情况。如果有以下二维滤波器，即一个计算y方向梯度的Sobel算子。

由于图像的模板运算默认为相关运算，而频域的乘积对应空域卷积。要达到一致性，以上滤波器需要上下颠倒，即旋转180度后(若为对称滤波器，可省此步)，即

以上模板在频域进行点乘可对应h的相关运算。

若需要填充0方式扩大到10×10（根据滤波图像的尺寸而定），则填充方式为：

以上两种方式中，hp的填充方式会出现与空域滤波结果边界上的不一致，而hp'填充方式则可以解决这个问题。

道理很简单，因为空域模板运算的当前像素（原点）一般是在滤波模板的中心像素，即

频域乘积（点乘）对应空域卷积的情况下，是按以下公式：

即原点（见椭圆标记处）是从左上角开始的。

下面的MATLAB代码可以简单实现以上方法，保持h中心像素位于填充区域的左上角。

center_h = ceil((size(h) + 1)/2);        %  确定空域滤波器h中心像数坐标

hp = zeros(P, Q);                             %  生成P×Q的全零矩阵

hp(1:size(h,1), 1:size(h,2)) = h          %  左上角填充h，形成延拓滤波器hp

row_indices = [center_h(1): P, 1: (center_h(1)-1)]';

col_indices  = [center_h(2): Q, 1: (center_h(2)-1)]';

hp = hp(row_indices, col_indices);   % 原点在左上角的延拓滤波器hp

其中，P, Q是扩充后的滤波器尺寸，与待处理图像（M×N）有关（一般取，P = 2M,Q = 2N）。以上代码也就是实现前面提到的滤波器h补零延拓+循环移位过程。

滤波器h补零延拓做FFT，虽然可以简单调用Hp = fft2(h,P,Q)来完成（MATLAB内部处理方式），但并未做循环移位，仅仅是右下部补零后计算FFT。因此，滤波结果的边界处并不能保证与空域滤波结果的一致性。空域滤波器h尺寸越大，这种边界差异越明显。例如用25×25，方差为2的空域高斯低通波器进行实验，结果如下。

上一排图分别为原图，空域滤波结果及模板置于左上角的频域滤波结果。可以看出，频域滤波结果有明显的边界效应。下图为模版中心像素置左上角的测试结果（右下图），则与空域滤波结果是完全一致的。

相关博文：如何保持空域与频域滤波结果的一致性（续）