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学习微分几何——理解微分流形

已有 18326 次阅读 2012-1-4 08:19 |个人分类:电脑围棋|系统分类:科研笔记| 微分流形

因为流形的局域象n维线性空间,所以,可对流形上的每一个点的开集建立对应的坐标系,来描述开集中的每个点的坐标。这个坐标系,就叫“坐标卡”,就是流形的局部坐标系。

理解:

1.这个坐标系只描述流形的局部(准确地说,应该是包含某点的开邻域),流形的局部本和n维线性空间同胚,所以,就可以用n维线性空间的形式来描述这个局部。

2.如果仅仅只关心点之间的顺序关系而不关心距离关系的话,本来是不需要建立局部坐标系的,只要知道点的邻域是谁,开邻域是谁(有哪些点),就OK的。

复习一下:邻域就是与一个点直接相邻的点的集合,开邻域就是包含邻域的这些点的开集的集合;“开集”就是包含[1]一些彼此相邻的点,并包含[2]这些点的外界相邻点的点集。包含[1]指作为集合的本身,包含[2]指集合的外部边界点,两个包含的含义有所不同。包含[2]是:“知道集合与谁相邻,但不包含到集合本身中来”的意思。

3.为什么又要对流形的局部引入坐标系来讨论呢?本来坐标系就是:不但规定了空间中的点的相邻(顺序)关系,而且规定了空间中的点的距离(位置)关系的一种规定。我们建立什么样的这样的规定,空间就被我们“描述”(规定)为是什么样子的。其实,物理空间就是那个本来就在那里的空间,只是我们能用不同的方式来描述它,我们就建立了不同的数学空间的概念。我们也不得不通过这样的方式来了解和认识物理空间——以便我们没准哪天就找到了某种方式恰好能简便地描述物理空间中发生的所有的事情——我们就建立了大统一的空间概念——不仅统一了不同的物理现象,而且统一了对物理空间的不同看法(各类数学空间概念)。在局部引入距离关系,只是为了说明,可以规定任意的距离关系,只是其中最简单的一种距离关系是平直均匀分布的距离关系而已。

 

而“点是按平直连续均匀分布的”这种对空间的看法,可以解释我们“肉眼所观察到的绝大多数”的物理现象,但不能解释许多肉眼观察不到的另一部分,说实在的,也许也是“绝大多数”的物理现象。我们得想法子,换成另外的一些对空间的不同的看法来试试,看能不能既能解释我们“肉眼所观察到的绝大多数”的物理现象,又能解释“肉眼观察不到的另一部分绝大多数”的物理现象。

 

而其中比较彻底的一种看法就是:先将空间看成是完全和点之间的“距离关系”无关,只和点之间“顺序关系”有关的,看能看出什么样的“空间性质”来。所谓“空间性质”,就是用这样理解的空间能来稳定地解释物理现象有什么,然后再看,定义什么样的“距离关系”,就能更广泛地解释全部的物理现象。按照爱因斯坦的广义相对论,就是可以取和“点之间的距离关系”无关的空间的概念,而且,任何的物理规律都和“取什么样的‘点之间的距离关系’的空间的概念”无关。这就说明:物理规律起作用,只和空间点之间的顺序关系有关,和空间点之间的距离是如何定义的无关。可以理解。

 

这里一定要注意一点:任何物理规律只是和“怎么定义距离”无关,而不是和“距离是多少”无关。这样,就从具体的“距离定义方式”中将物理规律解放出来了。这样做的目的,其实就是唯物主义的最彻底的深入:“距离”本来就是人为主观规定的,物理规律作为客观实在,不会因为我们这样规定距离,或是那样规定距离而变得不同。同时,也是对我们的物理思想的重大解放:我们可以放开思路,摆脱任何的主观规定来研究物理现象的本质。而物理现象的本质,似乎就是“空间中相互作用的点只需要按点之间的相邻顺序关系来传播”就够了。

而“点之间相邻的顺序关系”就是最后的、不以人的意志为转移的关系了吗?

也就是:

世界的原貌,就是保持一种相邻点的顺序关系的样子?如果我们改变了点之间的相邻顺序关系,我们就改变了世界本身,而不是仅仅改变我们对世界的看法,而“距离关系”,则不具有这样的“唯物”地位?——我们已经没有办法采取另外的方式来定义“顺序关系”了?——如果世界再与“顺序是怎么定义的”无关的话,我们就不需要来了解和认识这个世界了......。?

 

(停顿思考良久)

说的也是:这个世界,并不会因为是为了“需要我们去认识和了解它”而存在的。只是因为我们想去认识和了解这个世界,我们最少要规定的,就是:点之间的顺序关系——这依然是主观的规定。

 

真正的物理规律,是和“怎么定义点之间的顺序关系”也无关的。——不是说和“点之间的顺序关系是怎样的”无关。而是和无论采用什么方式来定义顺序无关,只要定义了一种顺序,就得到一种物理规律的描述,定义另一种顺序,就得到另一个描述,所有的描述,都是描述同一个物理现象。——也不是不可知论,而是意味着:有没有一种“顺序度规”?

 

虽然,小差开远了一点,但很有意思。

 

开完小差回来再看微分流形的定义,应该理解起来会轻松一点了。

先要理解“坐标卡集”:坐标卡集,就是“把一个流形全部映射到n维线性空间上需要的坐标卡”组成的集合。其实就是一个函数的集合,里面的每一个函数都负责把流形上的一个开邻域变换对应到n维线性空间的一个开集上去,看要几个这样的函数,才能完成整个流形的变换。

 

说到坐标卡集,就会提到“相容”问题:因为同一个坐标卡,相当于把一个流形的“部分曲面”,“摊平”到一个“平直平面”上去的函数变换,那么,多个坐标卡之间就可能存在相叠交的现象,也就是,相同部分的流形曲面可能分别在不同的坐标卡上得到变换,那么,在不同的变换之间,变换的结果应该“相容”。“相容”的意思,就是:用一个坐标卡变换过来的结果,可以用另一个坐标卡变换的逆变换变回去,对应的流形的部分还是一样的。

 

相容的问题,还可以理解为是“接轨”的问题:假设有两条平直的轨道要平滑地折弯对接,折弯后有相互重叠的部分,如果完全一致,就能平滑地对接完好,如果稍有不一致,就对接不好。对接的好不好,够不够平滑,就存在一个评测的办法。评测的结果,就是“相容性”的好坏。如果是弯曲的轨道对接,轨道当成曲线,只要两段曲线一致的k阶导数的k值越大,对接就越光滑。

 

流形是n维的“曲面”,要使不同的部分之间平滑地对接,当然,就是不同的变换函数的一致的偏导数阶次越高越好。这就叫C^k相容。

 

坐标卡集还有一个名字叫“开覆盖”,说得形象一点(当然就不十分严格),开覆盖,就好像用很多块本来平直的不锈钢皮,敲弯了,覆盖在一个海豚模型的表面,制成一个不锈钢海豚的雕塑。那些敲弯了的不锈钢皮集合,就是一个“海豚表面流形”的开覆盖。举这个例子,是因为我家住的花园前正好有这样一组雕塑,我天天上下班从它之前经过。

其中“不严格”之处并不多,仅仅在于每块不锈钢皮的边界部分,实际的不锈钢皮是“闭集”而不是“开集”。这“敲弯”的方法,就是变换函数,如果每块不锈钢皮的叠交部分的弯曲的“变化率的变化率的变化率的...(K阶)”都是一样的。那么,构造出来的“海豚表面”就是C^k相容的。

 

这么费劲理解C^k相容,是为了理解流形的C^k微分结构.

如果一个流形的开覆盖中的所有坐标卡组成一个集合,如果在这个集合中,任意两个坐标卡之间能够存在C^k相容的这样的坐标卡组成了另一个集合。当然,后一个集合是前一个集合的子集,那么,后一个集合就叫流形的C^k微分结构的基。或称是流形的C^k坐标卡集。

 

“具有C^k微分结构的拓扑流形M,即具有C^k坐标卡集等价类的流形,称为C^k流形。当流形M上给定了一个C^∞微分结构,则称流形M为光滑流形,或称微分流形。”

 

天啊,我原来以为只要一阶导数能对接就是光滑的了,呵呵,远不够了,要无穷阶导数能对接,才叫“光滑”啊!

啥意思,就是敲不锈刚皮要按无穷道工序来敲,每道工序保证下一道工序敲的“变化率的变化率”是一致的。啥叫“变化率的变化率”,“每延伸1mm敲弯1度”,这只叫“变化率”,对这个变化率再设定:每次变化后变化率调整1度,这就叫变化率的变化率,也就是变化率要每做1次变化率的变化,变化率要依次变为1,2,3,...。,这只是两层的变化率的控制,要做到光滑,要按无穷多个层次来规定“变化率的变化率的变化率的变化率...”是一致的。这样敲出来的不锈钢皮之间的连接,才能叫“光滑”。总之,这样拼出来的海豚雕塑,才是一个“微分流形”。

如果只是在大脑里想象一下如何雕出这个海豚的方法,还是不难的。难的只是想象这个过程怎么做和做出来的结果确切是啥样,大概是啥样也不难想象,我想,凭我们大脑的形象思维能力,是区分不了2和3阶相容流形的区别的,更别说区分C^∞的微分结构。总之,想象为无论怎么进行局部放大,总找不到接缝处的不流畅,就可以了。

 

感谢家门前的海豚雕塑,帮助我理解了微分流形。更谢谢侯老师编的这本《物理学家用微分几何》的书,没有把我吓跑。

后面的路还很长,慢慢来,今天算入门了。



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