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你真的懂分形吗？--历史上的第一个分形集
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什么叫分形集？通俗点说就是“病态”集，我们见到的最“正常”的集合是线段、圆等，这些图形都可以用很好的函数来表达，所以用微积分就足可以对付它们了。然而，自然界也经常犯毛病，尽弄出些稀奇古怪的东东来折磨人，我们在处理一些问题时总希望别出现怪异现象，即使出现，也希望出现的怪异情况越少越好，这种怪异现象数学上称为奇异性。例如在实三维空间中一个电荷分布μ引起的静电势和一个质量分布μ引起的引力势可以表示为：
φ（x）=∫dμ(y)/|x-y|
所谓势的奇异集指的是使得φ（x）=∞的那些x构成的集合，这个集合有多大？我们当然希望它小一点，判断它大小的办法就是计算它的维数。遗憾的是，企图精确计算出这些集合的维数往往是徒劳的，很多时候我们只能估计出其上界。类似的问题在动力系统、流体力学中也常碰到，所以，别以为这些妖魔鬼怪们都是数学家制造出来吓唬人的。
空间中任何一个分形集一定是不含任何区域的集合，例如，直线上的分形集不可能含线段，平面内的分形集一定不含任何圆，不管这个圆的半径多么小，这样的集合无论是局部还是整体都无法用传统的几何语言来描述。当然，这类集合还有很多特征，由于这里只是供大家欣赏，不必纠缠于它更细致的特征，否则你会感到索然无味的。
对一般人来说，要真正搞清楚任何一个分形集都不是一件十分轻松的事情，你若不服，且看我介绍历史上最早出现的也是最简单的分形集，看你能从中窥探出多少信息来。下面的文字你也许需要牺牲一点脑细胞才能看明白。
将区间[0，1]三等分，挖掉中间的开区间（1/3，2/3），余下两个区间[0，1/3]，[2/3，1]，再将这两个区间三等分，挖掉中间的开区间（1/9，2/9），（5/9，6/9），余下四个区间[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]，[8/9，1]，依此方法不断挖下去，最后剩下的集合记为C，称它为Cantor（康托）三分集。
可能你会觉得，这么简单的集合谁不明白？还用得着牺牲脑细胞？君请稍安勿躁，如果你能回答下面的几个问题，我就承认你脑袋上没长毛，聪明绝顶！
1、挖去的区间总长度是多少？这个问题对大多数人应该不难回答。
2、剩下的集合C含多少个点？不是要你算它的维数，而是要数其中点的“个数”即“基数”或“势”，例如你能不能回答它比有理数多，还是比有理数少？与无理数比呢？谁多谁少？
3、你能算出它的维数吗？
要回答第三个问题就需要知道什么叫测度，我们知道，区间[a，b]或（a，b）长度均为b-a，可如果我问你有理数集合的长度是多少你能回答吗？嘿嘿，我看这回鲍大侠恐怕真的变成傻子了。不过你傻得有理，因为连一般集合长度的定义都不知道，不傻才怪！那么我们该如何定义一般集合的“长度”呢（这里只说直线上的集合，高维情形道理相同）？别小看微积分，它的思想威力无比，想想看，在微积分中对于一般平面图形的面积是怎么计算的？局部化！就是局部地用矩形代替曲边梯形，然后求和再求极限。简单吧，但你真正理解它深刻的思想内涵了吗？如果你理解了，你就应该知道如何定义直线上一般集合的“长度”，这个长度就叫测度。
暂且写到此，够诸位大侠们睡不着觉了，欲知后事如何，且听下回分解。
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