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《随机过程》教科书中一个导致范式危机的低级错误

已有 1730 次阅读 2020-10-23 10:57 |个人分类:随机过程|系统分类:论文交流| 随机过程、数理金融学

动态随机现象是一种广泛存在于自然界、工程技术和人类社会中的运动现象,如液体中悬浮微粒的布朗运动、电子元器件内部的热噪声和股票市场中的价格波动等。《随机过程》是研究动态随机现象的一门应用数学理论,描述并揭示客观世界动态随机现象的数量关系及其变化规律,为自然科学、工程技术和社会科学等其它学科研究动态随机现象提供理论、方法及工具。

一、随机过程的定义

定义:随机过程 [公式] 是定义在 [公式] 上的二元函数。对于固定的时间 [公式] , [公式] 是 [公式] 的函数,称为随机变量,简记为 [公式] ;对于固定的 [公式] , [公式] 是时间 [公式] 的函数,称为样本函数样本轨道,简记为 [公式] 。

注意: [公式] 并不是时间 [公式] 的函数,它只表示 [公式] 时刻的随机变量,其自变量为 [公式] 。

二、随机过程、随机变量和样本轨道三者之间的区别与关系

图1为随机过程、随机变量和样本轨道三者之间关系示意图。

随机过程定义1.png

图1 随机过程、随机变量和样本轨道三者之间的关系

图中的三条样本轨道可分别看成是三个随机运动质点的位移曲线,每个质点在 [公式] 时刻的位移 [公式] 均为时间 [公式] 的函数。所有质点在 [公式] 时刻的空间位置(图中红点)就是随机变量 [公式] 在 [公式] 时刻的状态。随机过程 [公式] 即可看成是大量随机变量 [公式] 的集合,也可看成是所有样本轨道 [公式] 的集合。

从图1可以看出,随机变量 [公式] 和样本函数 [公式] 描述的是完全不同的动态随机现象。随机变量 [公式] 用来描述大量质点空间位置的统计特性,样本函数 [公式] 则用来描述一个质点的时间运动过程。

三、《随机过程》教科书中的基本概念和研究方法错误

随机过程定义已明确说明:随机变量 [公式] 是自变量为 [公式] 的函数,样本轨道 [公式] 是自变量为时间 [公式] 的函数,因此, [公式] 和 [公式] 是两个定义域和值域完全不同的函数,有

[公式]

但是,《随机过程》教科书在建立样本轨道模型 [公式] 和推导样本轨道 [公式] 的性质时,却令

[公式]

出现了逻辑上不能自洽的低级错误,无形中导致研究对象发生错位,使研究对象从一条样本轨道改变为大量样本轨道的集合,并用刻画大量样本轨道空间统计特性的随机变量数学模型和数字特征来描述一条样本轨道随时间的变化规律,必然会得出与事实不符的错误结论,因此,《随机过程》教科书为自然科学、工程技术和社会科学等其它学科研究和解决实际问题提供了错误的理论、方法及工具

四、《随机过程》教科书中的结论与事实不符

案例1:布朗运动样本轨道处处不可导

《随机过程》教科书在研究布朗运动样本轨道 [公式] 的可导性时,要证明下述极限是否存在

[公式]

但是《随机过程》在求解式(1)的极限时,却用随机变量 [公式] 代替了 [公式] ,于是将式(1)改变为

[公式]

由于布朗运动随机变量 [公式] 的方差

[公式]

因此式(2)极限的方差为

[公式]

当 [公式] 趋于零时,式(3)趋于无穷大,式(2)的极限不存在,因此《随机过程》教科书得出了“布朗运动样本轨道处处不可导”的错误结论。

事实上,布朗运动样本轨道的导数不仅存在,而且可观测

美国得克萨斯大学的李统藏在2010年成功地测量到了直径为 3 微米的单个布朗粒子瞬时速度,瞬时速度的波形是均值为零、RMS(Root Mean Square)均方根为 0.422mm/s 的高频白噪声。

李统藏在布朗运动被发现180余年后,完成了这个爱因斯坦曾经认为无法完成的任务。实验结果在《科学》杂志发表后引起了极大反响,《科学》杂志为论文专门配发了录音采访,《自然》杂志随后也迅速报道了该实验,美国明尼苏达大学等学校的相关课程已经将该实验作为教学内容。

如果直接求式(1)时间函数的极限,很容易证明其极限存在并且有限,表示布朗运动样本轨道 [公式] 可导(《随机过程》教材中的符号问题和方法错误,布朗运动样本轨道 [公式] 的导数(瞬时速度)为服从 [公式] 正态分布的高斯白噪声

案例2:布朗运动样本轨道 [公式] 服从 [公式] 正态分布

维纳在研究布朗运动样本轨道 [公式] 的性质时,将布朗运动随机变量 [公式] 模型当作样本轨道 [公式] 的模型,直接将随机变量[公式] 服从 [公式] 正态分布的性质当作样本轨道 [公式] 的性质,得出了样本轨道 [公式]服从 [公式] 正态分布的错误结论。

假设布朗运动样本轨道 [公式] 在不同时刻的值服从正态分布,则 [公式] 应具有如下两个正态分布的性质:

(1)对称性。绝对值相等的正、负 [公式] 出现的次数大致相等。

(2)集中性。大多数 [公式] 位于均值0附近。

图2为一条布朗运动样本轨道 [公式] 及其导数(瞬时速度)曲线,可以看出, [公式] 显然不满足正态分布的对称性和集中性,布朗运动样本轨道 [公式] 服从正态分布的结论完全与事实不符。

布朗运动样本轨道.png

图2 布朗运动样本轨道位移及瞬时速度

从图2可以看出,布朗运动样本轨道 [公式] 的导数(瞬时速度)服从正态分布,具有正态分布的对称性和集中性。

五、《随机过程》教科书的错误影响范围

《随机过程》教科书导致研究对象发生错位的样本轨道研究方法,不仅使《随机过程》教科书中所有与样本轨道相关的章节内容出现了与事实严重不符的错误结论随机过程理论的范式危机与变革),无法正确描述样本轨道随时间演变的现象、特征及规律,而且也为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的样本轨道研究方法,使众多学科出现一系列反常现象和问题,并陷入严重的范式危机。

1、对《应用随机过程》教科书的影响

北京大学数学科学学院的钱敏平、龚光鲁、陈大岳和章复熹四位教授合编的《应用随机过程》教材对随机过程定义的理解出现了严重的概念性错误,竟直接将样本轨道定义为随机变量,完全混淆了随机变量 [公式] 和样本轨道 [公式] 在基本概念上的区别(北大数院《应用随机过程》教材中的基本概念和研究方法错误)。

2、对《物理学》教科书的影响

物理学在研究单个布朗粒子运动规律时,将单个布朗粒子的位移 [公式] 当作随机变量 [公式] ,无形中将研究对象从单个布朗粒子转变为大量布朗粒子的集合,并用 [公式] 的数字特征来描述单个布朗粒子的位移 [公式] 特性,得出了著名的布朗运动位移公式

[公式]

上式表明,单个布朗粒子的位移 [公式] 与 [公式] 成正比,与牛顿力学中的质点位移 [公式] 与时间 [公式] 成正比的结论不一致,使人们误以为质点随机运动是一种与机械运动完全不同的特殊运动。

事实上,单个布朗粒子的位移 [公式] 仍然与时间 [公式] 成正比(维纳过程样本轨道特性),质点随机运动仍然遵循牛顿力学机械运动规律。

3、对《数理金融学》教科书和华尔街的影响

《数理金融学》是一门运用数学理论、方法及工具研究金融市场数量关系及其变化规律的交叉性学科。它首先建立金融资产价格随时间演变的数学模型,然后利用数学工具和数学方法来解决投资决策、资产定价、最优配置及风险管理等问题。

随着人类社会从工业社会进入到信息社会,虚拟经济规模已超过实体经济规模,仅全球股票市场每年的交易总额就超过全球GDP。由于金融市场的高度流动性、不稳定性、高风险性和高投机性会给实体经济带来严重的金融危机和经济衰退,因此研究金融市场运行规律的数理金融学理论受到人们的高度重视,Markowitz的组合投资理论、Black和Scholes的BS期权定价公式,以及Fama的有效市场理论分别在1990年、1997年和2013年获得了诺贝尔经济学奖。

股票价格及其对数收益率(日)曲线与图2所示的布朗运动样本轨道位移及瞬时速度曲线类似,股票价格 [公式] 是时间 [公式] 的函数,只是随机过程中的一条样本轨道(为什么股票价格不是随机变量?反证法证明股票价格不是随机变量)。

但是,《数理金融学》沿用《随机过程》教科书提供的错误方法,将股票价格假设为随机变量,建立的几何布朗运动数学模型和波动率参数不可能正确描述实际股票价格波动现象和波动程度(为什么股票价格不服从对数正态分布? 为什么波动率不能度量股票价格波动程度?),更无法正确预测股票价格的变化趋势,因此,将股票价格随机变量模型和BS期权定价公式应用于金融市场时,必然会给金融市场带来巨大的灾难(为什么说数理金融学是伪科学)。

国内外大量的实证研究已得出结论:BS期权定价公式是导致1987、1997和2007年三次重大金融危机的主要原因,科技部基础研究司编写的《中国基础研究发展报告》也明确指出:BS期权定价理论是造成历次重大金融危机的关键性原因

畅销书《黑天鹅》作者纳西姆·塔勒布在《金融时报》上发表了题为“破坏市场的伪科学”专栏文章,对数理金融学理论进行了严厉的批判:我们从一次又一次的金融危机中得出一个结论:现代数理金融学理论的有效性与占星术一样不靠谱,数理金融学理论获得诺贝尔奖不仅仅是对科学的侮辱,数理金融学理论通过创造风险来危害金融系统,一直使金融体系面临崩溃的风险。

六、结论:

《随机过程》教科书提供的这种会导致研究对象发生错位的样本轨道研究方法,使自然科学、工程技术和社会科学领域的众多学科陷入了严重的范式危机。《随机过程》教科书出现了在逻辑上不能自洽、结论与事实不符的反常现象及问题,必须要进行彻底的范式变革,摒弃错误的样本轨道研究方法和内容,将样本轨道的随机变量研究范式转换为时间函数研究范式,重建随机过程样本轨道理论,为自然科学、工程技术和社会科学提供正确的样本轨道研究方法、基础理论及分析工具。《随机过程》教科书的范式转换,就如同哥白尼将天文学研究范式从地心说转换为日心说,必然会颠覆和改变现有自然科学、工程技术和社会科学对动态随机现象的认识,引发一场持久广泛的科学革命。




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