今天在一个数学公众号（好玩的数学）上看到一篇陆志勤教授以前写的文章，《记交大数学二三事》。里面讲的是他在交大求学的经历。里面提到他大一的时候做的一道习题，截图如下。

我也尝试做了一下，发现不难。可以利用归纳法。n＝2时显然成立，设n=k时成立，然后考虑n＝k+1的情况。下面给出证明。

1. 不妨设某一个矢量为（0,0,...,-1)，即它的第k+1分量为－1，其他分量为0。那么其他k个矢量的第k+1分量必然大于0（想象在n=3的三维情形，一个矢量指向北极，其他4个矢量必须位于南半球）。

2. 其他的k个矢量不可以两两之间皆为钝角。反之，如果这k个矢量两两之间皆为钝角，那么它们在k+1维内空间内垂直于(0,0,...,-1)矢量的k维平面上的投影，也是两两之间皆为钝角。这与n=k时成立的前提矛盾（还是想象在n=3的三维情形，一个矢量指向北极，其他4个矢量位于南半球。如果它们两两夹角为钝角，则它们在赤道平面的投影矢量也是两两夹角为钝角。但这是不可能的！）。

第1的证明从略。第2点的证明简单如下。从其他的k个矢量中任取两个，V1和V2。可以写成如下的形式。

,

其中U1和U2为投影到垂直于(0,0,...,-1)矢量平面上的k维归一化矢量，且z1,z2均大于0（由第1点知）。容易知如果V1,V2的夹角是钝角的话，则U1,U2的夹角也是钝角。比较它们的内积即可。

证毕（科学网的公式输入真心麻烦，要是能用latex就好了！）。