为什么要定义开集？原来是因为要摆脱距离来研究点之间的“相邻性”。

什么是“度规”？原来就是计算距离的函数，就叫度规。

“邻接”和“距离”的分离：通常我们认为两个邻接的事物，其距离就为零。如果它们之间有距离，还说它们是“邻接”的，就不太好理解。数学的精妙就表现在：它能把我们通常的很普通的一些观念，用更精确的手法进行辨析。把邻接概念和距离概念分开，说：邻接和距离无关，意味着两个概念脱钩了，各是各的含义。那么，与距离脱钩的邻接概念要和谁挂钩才好理解呢？我们知道，空间是顺序位置点的集合。位置距离是与位置脱不了勾的，那么，邻接当然就和顺序脱不了沟。邻接的意思就变为：不管2点之间有多远的距离，如果要从一个点A“走”到某个其他的点C时，如果一定要先经过点B，那么，就说A和B邻接。这么一理解，“拓扑”的味道就出来了。“拓扑”的味道就是：不管点之间的距离关系怎么变，只管点之间的顺序关系不能变，看空间怎么变也变不了的东西是什么。

 

度规这个概念该死，把计算距离的方法这么简单的含义用2个不熟悉的字一叫，就让非数学专业人士吓跑了一半。也不该死，有了这2个字，就不要总重复说“计算距离的方法”这7个字了，说起来听起来更简单一些——就是我们要知道，脑子里稍微转个弯就行了。

“邻域”，就是相邻的区域，区域，当然是点的集合，就是与一个点相邻的点的集合。就是一个渔网的一个点，四周连着那些其他的点。

“开集”，就是一个基本的点的集合把每个点的领域都拉进来的集合，就是开集。呵呵，围棋子串是一个点的集合，把一个串的“气”全包进来的集合，就是一个“开集”。

 

接下来书上开始讲流形上的连续映射了。

且慢！

我还没有消化“流形”的概念呢？

回头看流形的概念，侯老师是这样说的：n维流形的局域象n维线性实空间。也就是说，n维流形是一个任何局部都是一个n维的线性实空间的空间。看起来不难理解，可要小心理解这个概念，不要太轻视了哦。一维流形就是一条“光滑”的曲线，因为曲线被分到足够小小段连接而成的时候，就可以认为，每个小段都是一个直线段，这是微分的知识。每个直线段，就是一个一维线性实空间的一个局部。当然，二维流形就是局部是“平直的”足够小的正方形。

理解“流”这个词其实很重要，流不是简单的平移，而是顺着某个方向平滑地移动。所以，有“流线型”的说法，现代视觉设计是很讲究“流线型”的，尤其是汽车、飞机等的外形设计，因为不仅可以让我们觉得好看，还能减少汽车飞机的运动阻力，或许“顺着”，“减少了阻力”，正是我们觉得美的原因吧。

二维的流形，一般理解也有点怪：平直的正方形，要“顺着正方形”的平面方向光滑地平移的话，平移的结果，不是依然是一个平直的平面吗？这是因为，一般的理解，没有把正方形理解得“足够小”。就象浮在波涛起伏的大海上的指甲盖大小的一小张正方形纸，浮在在波涛起伏的任何地方，都可以“认为”，这小片纸，依然是“平直”的。

突然想到这是很有意思的哲学辨证法的味道：要想得到精确，必须先近似。这是因为永远没有绝对的精确，只有近似地认为一个足够小的单元是精确的，才能拿这个“精确”去丈量其他的事物，得到其他事物的“精确”。

原来数学，也需要哲学思辨的支持。

 

流形的概念就算我理解了，到高维，无非就是在每一维度上存在偏导数的平滑变化，这点微积分基础我还是有的。

侯老师说的另一句对流形的“确切定义”反倒暂时还不能被我理解：流形是这样一个Hausdorff空间，它的每一点有一个含有该点的开集，与n维线性实空间的开集同胚。

我还是清醒的：暂时不能让我理解的只是其中的“Hausdorff空间”和“同胚”这两个词语的确切含义，并不是“流形”的概念本身，所以，不用着急，它们肯定说的是流形的某个特性，过不了多久，我一定会“知道”的——就象我“知道”度规，只不过就是计算距离的方法而已一样。

 

再来看“流形上的连续映射”说的是什么？

是2个流形之间的映射，当然是空间中的点对点的对应关系，可以用一个函数来表示，实际上就是如何在2个流形之间进行变换的问题。为什么要提2个流形之间的变换问题呢？因为把一个流形做出一种各点之间距离的变化，但不改变各点的邻接关系的话，一个流形就变成了另一个流形，前后就是2个流形，假设促使变化产生的方法是同一个，那么，这个方法就是映射函数。

 

这里，顺便介绍了闭集和开邻域的概念。

闭集的陈述好理解：是开集A在集合S中的补集。

开邻域的表述有点拗口，屡直了说应该是这样：开邻域是指S中含有点a所属的某开集的子集。

闭集是针对开集所说；开邻域是针对一个点的邻域来说的。

在围棋盘上说：

棋盘上除了一个棋串和它的气组成的开集以外的部分，是一个闭集；

而开邻域，则是包含了一颗棋子和这个棋子四周邻接的位置的区域的区域。

先学到这。