连听了2节老顾的网课，这两节网课的核心概念就是同调的概念。

听完课的直觉就是，同调的概念和电磁场和电路中的很多知识总有那么一点似曾相识，却又说不出具体关系来。暂时能得到的理解只是：同调和同伦是类似级别的概念。

就以这个理解为基础拓展开来吧，看到底能不能想起来“同调”是哪个“老友”。

前面理解同伦的概念是：两个子空间按【相同的规则】在不同位置取自同一个父空间。所谓【相同的规则】，其实是指：曲线之间经过“扫描”或“平移”，而更一般地说，应该是经过“拓扑变换”，这些曲线可以完全重合，相互之间就是同伦的，同属一个同伦类。

说同调和同伦是类似级别的概念，意思就是只是将【相同的规则】换成另一个规则来对曲面上任意的圈来分类。理了解这个新的规则，就能理解同调概念。

新的规则就是：只考察曲面所有可能圈中的那些沿圈切开曲面后，会把曲面切出一个疤口的圈，而且把这些圈叫做边。那些沿孔洞内侧环表面的圈，切完只是条缝，没有疤口，仍叫圈。考察同调分类时，应忽略圈，只考察边。事实上，在考察同伦类时，也忽略了一种圈，就是曲面上能缩成一点的圈。

所以，同调的意思就很清晰了，所谓同调，就是指曲面上同类的边同调。考察曲面有哪些同调类，其实就是看这个曲面能割出多少种边来。问题就转换为边是按什么来分类的了。

在理解边怎么分类前，先对比理解【同伦的圈】和【同调的边】的几何意义。

同伦的圈，是向曲面内部看，看曲面能缩成一种什么样的“骨骨架”拓扑图；

同调的边，是向曲面外部看，看曲面能割出几种不同的对外的“接口”。

现在理解边是怎么分类的就很容易了：看割出来的边是否可互换，能互换，则同调，不能互换，则不同调，啥叫能互换，就是两个边，我随意割掉一个，从曲面的剩下的拓扑结构来看，你并不能区分我割的是哪一个，这也叫对称。

同调的这层窗户纸终于被我捅破。

也让我想起了两位老友，电场和电路的理论。

闭合曲线的电场的积分，得到的电势差为0,为啥？因为他们同调0。

闭合电路的电势差积分也为0，说明电路是个电场的拓扑。

如果有了“空间立体电路”，那么，也可以得到闭合曲线的电场的积分不为0的同调群。

呵呵，结识新朋友，仿佛见到老朋友，真高兴。