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理解“万有覆盖空间”——计算共形几何学习笔记6

已有 1127 次阅读 2020-7-9 12:12 |个人分类:计算共形几何笔记|系统分类:科研笔记| 基本群, 万有覆盖空间


理解完基本群,算是跨过了第一道门槛,老顾在同学群里给予了我理解肯定,很受鼓舞,老顾给我出了一道作业:接着理解“万有覆盖空间”,并给予提示:如何理解万有覆盖空间=所有从基点出发的道路同伦类?

 

理解基本群肯定是理解万有覆盖空间的基础。所以,还要先深入理解基本群。

上篇笔记理解到:基本群是扫描整个曲面所需要的圈的基本类型圈,也就是用这些圈在满足圈之间的交点的约束条件下进行“扫描”,就能得到整个曲面。

 

但理解基本群的目的,并不是为了扫描复原曲面,而是为了把曲面剖开。

基本群的所有圈在交点约束下,实际构成了一张“图”,是曲面上以交点为结点,以圈线段为边的一个网络。

怎么剖开曲面呢?

先把网络图变成一个“树”,去掉一些边,使得“图”里面所有的“回路”都被割开,但保持图上的每个结点都能直接或间接地连在一起。得到的是一个“结点树”。术语叫“割图”。

顺着割图的边,就可以剖开曲面,使曲面可以摊开成为一张多边形的平面区域。书上叫这个区域为“基本域”。

 

这样,一个本是立体空间上的封闭曲面,就摊开为了一个平面图形。可以想象一下我们看到的世界地图,实际上是一个球面剖开后展开的样子。

原来,把任意的空间曲面剖开为一个摊开的平面多边形(基本域),就是找基本群的目的。

 

有了对“基本域”的理解,理解“万有覆盖空间”就变得容易了”

基本域被展开后,会出现很多剪开的边,每个剪开的边都有对边。

把基本域进行复制,用复制的基本域的对边和展开的对边进行粘合,这样,整个平面就可以不断无缝覆盖下去,像铺地砖一样,基本域当然先要变换为地砖的形状。

这个铺地砖铺出来的平面空间,就是“万有覆盖空间”。

 

为什么要做出一个“万有覆盖空间”出来呢?

总的思路还是要想办法把高维的曲面,投影到低维的平面上来进行研究。

比如:在曲面上的任意两个环,它们之间是否可以相互等价地变换呢(同伦)?,通过投影到万有覆盖空间,就比较容易判断。

先让它们在曲面上做些小变换,使它们产生一个交点。然后找它们在万有覆盖空间上对投影,如果它俩同伦,投影必定是一个圈:它们在万有覆盖空间上会相互首位相接在那个交点的投影上。


那么,如何理解万有覆盖空间=所有从基点出发的道路同伦类呢?

因为基本群里的圈投影到万有覆盖空间就变成了道路。

基本群的圈扫描的同伦圈得到原空间,对应在万有覆盖空间上的道路扫描得到的同伦道路就得到万有覆盖空间了。

能这么对应,是因为这里采用的是一个“同胚映射”:如,对于有一个洞的拓扑,是环面,这里是把环面映射为矩形。两个洞的曲面,映射为双曲圆盘。

不知道这么理解“同胚映射”对不对。





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