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今天听了老顾的第二节网课:基本群概念。算是正式进入了理论学习。
第一个引起我理解障碍的描述,出现在老顾的教材P17页:
三维的洞,是因为曲面”嵌入”三维欧氐空间中产生的吗?换言之,就是问:“洞”是曲面与三维空间的相对关系,还是曲面自身内蕴的特性?
三维欧氏空间中画上一个曲面,如果曲面有闭合包围的圈,就会使三维空间出现孔洞。
"嵌入",按自然语言理解是镶嵌在其中的意思,在这里怎么理解呢?是上面的意思么?有没有专门的数学含义所指呢?
因为对“换言之”里的“相对关系”和“内蕴”的确切含义也把握不准,所以,还得看能不能再换一种能理解的说法。
自己根据能自己能找到的“理解”,再换言之一下:
按正常理解,曲面是三维空间中的一群分布点的选择。是三维空间中的这些分布点组成了曲面。
是不是说,决定由哪些点构成曲面时,是不是真需要建立一个三维空间坐标系呢?
真需要,就是嵌入,不需要就是内蕴?
曲面自己就“知道”自己由哪些点组成,不须要额外的一个三维的相对坐标来帮助决定?
曲面在三维上围出一个“洞”,是可以通过曲面上自身的信息就能推断出来,而不用跳出曲面来观察的么?
要跳出曲面观察才知道曲面围出了洞,就是嵌入,不用脱离曲面就能推断,就是内蕴。
这么理解符合原意么?这和理解“基本群”概念有什么关系?
继续寻求理解:
在低维空间上,通过变换运动轨迹,就可感知其在高维空间上的性质。
比如,在一个曲面上经过1个固定点,可以画任意多的闭合曲线;可以想象,一只蚂蚁从该点出发,沿任意画出的闭合曲线上运动,回到该点,每走一圈,除固定点外,向左偏移一点再走一圈,最后,会出现什么情况?
某一个圈,可能会出现情况只有两种可能:
最后会偏移收缩到这个固定点;
不会收缩到这个点,总会是个圈。
假设蚂蚁把所有可能的圈,都这么走一遍,那么,所有可能的圈走完,最终可能出现的情况可能是:
所有可能的圈,最终都可以缩为一点。
存在1个或多个,相互并不能替代的圈,不能缩为1点,而只是在这1点相交。
假设出现的是情况1,那么曲面类似1个球面,没有洞。
假设出现的是情况2,那么曲面是有洞的。
把所有相互不能替代的圈集合起来,用这个集合里的圈,再反过来让蚂蚁围绕相交点,任意进行偏移走圈,蚂蚁就能走遍整个曲面。
这说明,情况2中的几个圈的集合及其相互的相交关系,就反映了曲面的最基本的,可保持不变的性质。
这个圈的集合,圈通过交点可进行对接的操作,就是曲面的“基本群”。
那些蚂蚁经过一个固定点最初的圈,经任意扫描平移偏移可走出来的圈,就是同伦圈。
同伦的意思,代数地说,应该是在连续的多元函数中,将某一个变量元在可变的范围内任意变化(扫描),会得到一个函数簇;这一簇函数拥有共同的“父函数”。所以说,这一簇函数是同伦的。
在解析几何中,函数就是曲线,是几元函数就是几+1维空间内的“曲线”,曲线扫描,就会得到曲面。
所以,通过分析一个曲面,最终可以由哪些基本的圈,通过哪些交点约束,动态扫描来覆盖。这个基本圈的集合,就能反映曲面可以维持不变的性质。
不同的几何空间,只是它们解析出来的基本圈和扫描的方式不同。解析出来的基本圈和扫描的方式不同,得到的几何空间也就不同。
基本圈和扫描的方式,就是基本群的概念。
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