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刘瑞祥:继续谈作圆锥曲线上的点

已有 1564 次阅读 2021-5-6 16:09 |个人分类:数学|系统分类:科普集锦

  在继续讲牛顿的圆锥曲线作图法之前,我要给大家介绍一下他用到的一种变换。这对后面的圆锥曲线作图问题是必要的。

  假设现在有一条曲线,我们在上面任取一点G,进行下面的变换(图中的点a是过O且平行于AB的直线与BL的交点):

1.jpg

  1、任意做定线段AO和AB;

  2、过B作AO的平行线线BL;

  3、过G作AO的平行线,交直线AB于D;

  4、连接OD,与BL交于d;

  5、过d点做射线,与BL成一定角度;

  6、在该射线上取一点g,满足gd/GD=AB/AD。

  点g即为G经过变换后的点。当G在原曲线上移动时,g亦随之移动,形成的轨迹即为变换后的曲线。牛顿对这一变换说明如下:

  1、经过这一变换,曲线的次数不变,曲线原来是一次、二次、三次…变换后仍然是一次、二次、三次…,换言之,直线变换后仍然是直线,圆锥曲线变换后仍然是圆锥曲线;

  2、如果AO经过一对相交直线的交点,则可以把这对相交直线变换为一对平行线(显然,如果AO通过两组相交线的交点,则可以把这两组相交线变为两组平行线);

  3、(在线段AO、AB和前述第5步中的角度都一定且已知的前提下)我们可以通过点g找到原来的点G。

  大家可以通过计算或者利用数学软件对以上内容加以验证。

  牛顿接下来用这一变换解决了两个问题:一是命题25问题17,要求作过两个已知点并与三条已知直线相切的圆锥曲线上的点;二是命题26问题18,要求作过一个已知点并与四条已知线相切的圆锥曲线上的点。

  对前者,第一步要连接这两个已知点形成一条直线,与原来的三条直线分成两组相交线。第二步将其按照前面介绍的方法,变换成两组平行线,第三步是对变换后的图形作出合适的几个点。最后施以逆变换。下面我们对变换后的情况作图,其中平行线hi和kl以及另外一条ik线是由原来的直线变换而来,另一条平行于ik的hl线由连接原来两个已知点的直线变换而来,a、b两点即是变换后的点。

2.jpg

  问题的关键在于做出各个切点。设hi上切点为c,ik上切点为d,kl上切点为e,则各点满足下式:

3.jpg

  请注意,上式只有最右边的式子是已经给定的。这样,我们找到c、d、e各点后进行逆变换,连同原来的两个已知点一共五个点,问题得以解决。而现阶段我略可和读者说上一句的是,根据上面的式子,对于圆形这种特殊情况来说,显然ic与id的比(上式第一个等号右边部分)为1,而根据圆幂定理,上式最左端的部分也是1,其余各项亦可同理验证,我们就这样针对一个非常特殊的情况验证了上式。另外按照《原理》所提示的,根据a、b在线段hl的内外的不同,所找的切点c、d、e也相应地位于各线段hi、ik、kl的内或外,但如果a、b一个在线段hl内,一个在hl外部,则无解。。顺便说一句,前面文章里给大家提供的电子版《原理》,数学公式好像是以比的符号(:)为最低运算级,即先加减后求比值,读者应该注意这一点。有了三个切点之后,连同已知的两个点,一共知道了五个点,问题得以解决。

  对命题26问题18,假设四条切线变换后组成平行四边形hikl,唯一的已知点经过变换后为点p,则P关于平行四边形中心对称的点q亦在圆锥曲线上。以后只要参照前一问题的解决办法就可以了。

4.jpg



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