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刘瑞祥:作圆锥曲线,通过给定的点并与给定直线相切

已有 2935 次阅读 2021-4-25 14:53 |个人分类:数学|系统分类:科普集锦

  本文是上一文的续篇。牛顿在《自然哲学的数学原理》中对这类问题进行了比较系统的研究。这里继续介绍牛顿的方法,和上一文相比,原则不变,即所用字母与原著相同,并用虚线代表对应的圆锥曲线,只在文字上略作调整以方便读者。和上一篇文章唯一的区别在于,本文略去了动画。以下未注明出处的,概出自于上一文所选版本的第一部分第五章。

命题23问题15:作圆锥曲线通过四个给定点,并与给定直线相切。

情形1:设HB为已知切线,B为切点,C、D、P为另外三个已知点。

 方法一

1.jpg

 1.连接BC、BD、CD;

 2.过P作BC的平行线,分别交BH、CD于Q、R;

 3.过P作BH的平行线,分别交BC、BD于点S、T;

 4.连接RT;

 5.作TR的平行线,分别交QR、ST于点r、t;

 6.连接Bt、Cr,两直线交于点d。

  点d即为所求。

 方法二

2.jpg

 1.连接BC、BP、BD、DC、PC;

 2.在直线PC上找到一点M,使角PBM等于角HBC;

 3.在直线CD上找到一点N,使角DBN等于角HBC;

 4.连接MN;

 5.在MN上任取一点m,连接Bm、Cm;

 6.在Cm上找到一点d,使角dBm等于角HBC。

  点d即为所求。

情形2:设已知四点B、C、D、P均不在切线HI上。

 作法

3.jpg

 1.连接BD、CP,二者交于点G,与所给直线分别交于点H、点I;

 2.在HI上找到一点A,使04.png

点A即为切点。(依A在线段HI内部和外部的不同,有两个满足条件的点,前面只画出了一个。后略)

  以上涉及求比例中项及分线段为已知比(注意是两个已知乘积的比,方法附于篇末),均可由尺规做出,难度不大,但步骤较繁。

命题24问题16:画一条圆锥曲线,使它通过三个已知点,并与两条已知直线相切。

设B、C、D为已知点,两条直线分别为l、m(注意,l、m两个字母是原著里没有的,补充这两个字母是因为原著喜欢提前用到后面才作出的点的字母,与现代表达方式不同)

作法:

4.jpg

 1.连接BD,分别交直线l、m于点H、K;

 2.连接CD,分别交直线l、m于点I、L;

 3.在直线KH上找一点R,使05.png

 4.在直线LI上找一点S,使06.png

 5.连接RS,分别交直线l、m于点A、P,点A、P即为切点。(R、S均可在线段KH、LI的内部或者外部,图中只画出了一种情形。后略)


如何分一线段AB于C点,使AC/BC=(mn)/(pq)?(其中m、n、p、q均为已知线段)

作法:

 1.任意作一线段x;

 2.作线段s=mn/x;(利用平行线分线段成比例可作)

5.jpg

 3.类似于上一步,作线段t=pq/x;

 4.分线段AB于C点,使AC/BC=s/t。

  点C即为所求。



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