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我们知道,如果给定三个不在同一直线上的点,可以唯一地确定一个圆,方程可以用下面的行列式表示:
而这用尺规作图解决也很容易,就不再赘述了。
如果问题涉及的是一般的圆锥曲线呢?因为二次曲线的一般形式是:
而这六个参数只有五个是独立的,意味着只要给出其上五个点的坐标就可以了。为看清这一点,我们可以模仿前面的行列式公式,写成下面的形式:
可以看出,我们只要把这个行列式按第一行展开就可以了。但真正的困难在于作图,即题目所说的——已知圆锥曲线上的五个点,求做该曲线上的其余点。
下面的方法见于牛顿《自然哲学的数学原理》一书的第一编第五章命题22问题14(参见版本为王克迪翻译、陕西人民出版社&武汉出版社2001年出版的中文版,P100~101)。需要说明以下几点:
1.图中的字母与原书相同,已知点为A、B、C、P、D;
2.原书没有绘出完整的圆锥曲线,下面的图以虚线代表之,并绘出坐标轴;
3.原文叙述方法与现代有异,为便于大家阅读,在译文的基础上做了调整;
4.原文有证明过程,并在该命题后还有作出圆锥曲线中心、焦点等点的推论,但涉及比较多的引理,目前我尚未理出头绪,敬请读者原谅,也希望有读者能发表相应文章(不限于牛顿的方法)。
方法一:
1.连接AB、AC、BD、CD;
2.过P做AB、AC的平行线,前者交直线AC于点S、交直线DB于点T,后者交直线AB于点Q,交直线DC于点R;
3.连接RT;
4.做RT的任意平行线,交直线RQ于点r,交ST于点t;
5.连接Bt、Cr并延长,二者交于点d。
点d即为所求。(当rt移动时,d点亦相应移动)
方法二:
1.连接AB、BC、CA;
2.连接BD、CD,过B、C两点分别作直线,交于点M,使角DBM等于角ABC,角DCM等于角ACB;
3.连接BP、CP,过B、C两点分别作直线,交于点N,使角PBN等于角ABC,角PCN等于角ACB;
4.连接MN;
5.在MN上任取一点m,过B、C两点分别作直线,交于点d,使角mBd等于角ABC,角mCd等于角ACB。
点d即为所求。(当m移动时,d点亦相应移动)
关于圆锥曲线的作图,《原理》一书还讨论了其它一些问题,比如已知若干点和直线(点、线的总和是五),求作过这些点且与这些直线相切的圆锥曲线等,将来如有可能再与读者分享。
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