退火算法及模拟实验小结

1.     Vertex model的优点是可以追踪每个细胞的几何和拓扑参数，其核心是退火-即多边形网络的平衡。平衡表现为多边形看起来更‘圆’，角度更加集中。经典的Force-based Vertex model需要复杂的计算，我们发展了一种Geometry-based Relaxation Algorithm。这种新算法仅仅依赖一个几何规律：椭圆内接最大n边形相邻顶点的离心角为2π/n。

2.     Voronoi细胞是椭圆内接多边形，我们的退火算法可以将其变成椭圆内接最大多边形。从统计上，Voronoi细胞和退火细胞都符合Lewis’s law和Aboav-Weaire’s law。

3.     退火导致大于6边的细胞变大，导致小于6边的细胞变小，6边形轻微变化，这与von-Neumann-Mullins‘s law所描述的non-living trivalent 2D structure的细胞生长规律一样。由此，我们推测非生命细胞的生长实际是由退火直接驱动的。生命细胞显然需要一套应对退火的机制以维持细胞面积的保守分布。

4.     Desch’s law说周长与边数正相关，我们发现其实应该表述为细胞平均边长与面积或边数的关系。即：细胞越大，边长越短，反之亦然。

5.     退火导致大细胞平均边长变长，小细胞平均边长变短。而基于Lewis’s law和Aboav-Weaire’s law，大细胞的相邻细胞小而多，小细胞的相邻细胞大而小。所以，大细胞倾向与小细胞做邻居。如果一个大细胞和一个小细胞共用一条边，那么退火给予边两侧细胞完全相反的作用，可能导致这个共有边不稳定。这条边可能是发生拓扑变化的位置。特别需要注意的是：生命细胞和非生命细胞主要采取的拓扑变化完全不同。

6.     基于Lewis’s law可以解释边分布的上下限。生物细胞如果是三边形，那么平均分裂导致子细胞必然有一个4边形。基于Lewis’s law，4边形子细胞面积大于3边形母细胞，这与实际相反。非生命细胞则没有这种限制，边数下限可以为3。至于上限，当细胞面积随边增加仅仅轻微增加~7%，那么此时即为上限。

预印本链接：https://arxiv.org/abs/2011.02791