几个月前Hopkins毕业的席老师在浙大开了门短课程，介绍了紧黎曼流形上Laplacian的eigenfunction的估计，包括经典结果与前沿进展。 主要工具是拟微分算子与黎曼几何，需要对广义函数与Fourier Analysis较为熟悉。
      席老师首先介绍了拟微分算子的基本概念与性质，着重讲解了Hormander parametrix(拟基本解)的构造过程。  利用Fourier变换技巧，将特征值的计数问题转化为半波算子的形式，通过构造后者的拟基本解，证明了sharp Weyl formula.  
      之后，席老师介绍了eigenfunction的L^{infinity}估计的经典结果，并以球面为例子阐述了其上某些eigenfunction具有concentration现象，从而指出上述L^{infinity}估计是不可改进的。一般而言，对于eigenfunction的L^p模，当p较大时在某些点(例如球面在北极点)的邻域内有集中现象；当p较小时在周期测地线(例如球面在赤道)的某个管状邻域内有集中现象，并有一个临界指标p=p_c.   席老师指出，临界指标时的估计是最为本质的，也是最为困难的。
      对负曲率(紧)黎曼流形，一般认为结论可以改进，不难看出一个关键之处在于排除前面所说的两种集中现象。负曲率情形也是当前eigenfunction研究的主要方向与热点。
      课程的最后，席老师还介绍了eigenfunction的限制型估计问题，包括他与一些合作者的最新研究进展，值得一提的是其中用到了微分几何里著名的Gauss-Bonnet公式，让人感觉到数学的美与统一性。此外，在Sogge教授2015年关于eigenfunction的一项研究工作中还用到了黎曼几何里的Toponogov比较定理！
      该课程让我开阔了视野，了解了相关研究方向的国际前沿动态，收获很大。

注.  这里列出相关参考书，有兴趣的同学可以看看：
1.  Sogge ,  Fourier Integrals in Classical Analysis , 1993.
2.  M.Taylor ,  Pseudodifferential Operators , 1980.