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为何有许多情形下是不存在解析解的?兼论NS方程的解析解

已有 1151 次阅读 2020-12-27 11:18 |个人分类:环境科学、环境数学模型|系统分类:论文交流

按:杨正瓴老师在“[杂谈] 解析解与数值解”一文中提到了一个有关解析解和数值解研究的问题,这个问题本身非常有学术讨论的价值,以下是笔者对这个问题的评论,以及笔者自己对有关解析解乃至NS方程求解问题的多年思考的一次小结,欢迎读者批评指正和理性探讨。


数值解在实践类学科中的应用早已极其多了,比如在流体力学、环境数学模型等领域,就有非常多成功应用的例子,而且其中的许多例子里,从理论的角度来说就是不可能有简单的解析解的。只是在计算机没有被普及,算力也很落后的时代,数值解的方法的威力没有被充分展现出来而已,因此那个年代的人有时代的局限性也是可以理解的。

更为具体地,为何有许多情形下我们所研究的事物在我们现有的理论框架下是不存在解析解的?笔者认为,根源有以下两个原因:首先,目前人们对许多事物的内在机理并不是完全明了,对其所建立的模拟分析方程往往是做了大量的简化或假定后得到的(这导致最终的求解即使得到了解析解也仍然经常会偏离该事物的真实状况);其次,即使是简化或假定后的方程,也仍然经常是在理论上就不存在解析解的,理由是:决定该事物发展变化的,不仅仅在于所建立的那几个微分偏微分方程里的变量及其数量关系本身,还包括该事物的各种初值条件、边界条件和环境条件,这些初值条件、边界条件和环境条件也同样是决定该事物发展变化的必不可少的要素,不同的初值、边界条件和不同的环境条件,其演化结果和数值结果往往必然会有巨大的不同,因此在理论上就不存在可以精确描述该事物的简单的解析解通式。

在这方面,“千禧难题”之一的NS方程(Navier-Stokes方程)就是典型。笔者认为NS方程这个问题就是在理论上不存在通用解析解的典型的例子,理由同样来自上述两个方面:

首先,流体不可压缩的假定就是偏离真实的,即使后续有可压缩的NS方程,该可压缩的界定仍然肯定是在理论上做了各种简化和假定的,这就导致NS方程本身并非描述该真实流体的真实情况的绝对精确的数学模型,更为准确地说,任何真实流体在理论上就不存在可以对其进行精确描述的解析解通式(即使某些情形下得到了解析解,该解析解的适用面必然会是比较狭窄的,而不会是可以普适到所有流体情形的),而纯粹从NS方程的数学公式本身的数学意义出发去研究NS方程是否有解析解的思路,虽然有数学上的研究价值,但从物理的角度来说是有问题的甚至可能是不对的,因为NS方程里的每一个具体变量都有明确的物理意义,求解NS方程的解析解的过程中是无法彻底避开对其中的每一个变量和参数的物理意义的考察的,相反,真正求解NS方程的解析解的过程中,必须紧密围绕其中的每一个变量和参数的物理意义的考察来进行,否则就是脱离物理实际和可能是毫无实际用途的(当然,对于NS方程进行纯粹的数学层面的数学分析和数学解析,肯定是有价值的甚至可能会有潜在的巨大价值,只是这种纯数学分析的结果是否有物理意义和是否有真正的实用价值是非常值得怀疑和需要非常慎重对待的)(关于对上述这个问题的理解,还有一个反向思维的方法:即如果得到了某种情形下甚至任意情形下的NS方程的纯粹数学上的解析解,难道真实的流体的运动情形会仅仅符合这一种解析解的这一种计算结果?而如果我们回到实际的物理世界,我们可以肯定的是:实际情况下,仅仅是边界条件在某处的某一个细微的变化,都会导致该流体后续的形态结构上的巨大变化,而这种边界条件在NS方程本身里是完全没有体现的,要体现也必须是体现在一个包括了NS方程在内的一套要复杂得多的大型甚至巨型方程组里才会出现对边界条件的变化的考量)。

其次,更为重要的是,对真实流体过程的模拟计算,必须要考虑该真实流体的初值条件、边界条件和环境条件,而实际的流场虽然我们可以做各种简化和概化,但这种简化和概化后的计算局面(即不同的初值、不同的边界条件和环境条件)通常仍然会是很复杂的,因此同样在理论上是得不到解析解通式的。即使也许我们可以在进行分段或分情形简化后得到不同段或不同情形下的解析解通式,但在真实的运用情景中,这种解析解的适用面同样往往会非常狭窄,因为真实的初值、边界条件和环境条件通常都不会那么简单,通常都会有大量的复杂且不可轻易忽视的具体细节,这就最终会导致不得不仍然是进行分段/分区域计算的,而这种分段/分区域计算,本质上仍然是一种数值解法,只是将解析解和数值解进行了融合而已(当然,也可以是用数值解和解析解进行对照分析**1**)。

综上,一个简化的结论是:在许多情形下我们所研究的复杂事物在我们现有的理论框架下是不存在或是无法得到解析解的,此时往往就是数值解法大展神威的时候了。从实际情况来看,数值解在许多实践领域的广泛使用,已经充分证明了数值解法的有效性和威力。尤其是在计算机时代到来后,数值解法早已被充分证明是人类学术皇冠上的一颗闪亮宝石。


注:

**1**这种对照分析对于理解数值解法的有效性和威力也是非常有价值的,比如环境质量模型中的SP模型,就经常可以运用解析解进行分析计算,但也可以采取类似有限单元法的数值解方法进行分段计算,最后得到的结果是基本完全一样的(只要分段足够多足够细),我在给研究生讲授《环境系统分析》课程时就经常会讲这个例子,以加深大家对于数值解和解析解的异同与联系的理解。




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