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[学习笔记] H.E. p.62

已有 634 次阅读 2020-10-21 15:37 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 62(S46)

* * * 

证明的第一段(前导)。

PROOF. The basic idea of the proof is the idea of the Lagrange resolvent, an element whose pth power is known.

---- 证明的基本思想是拉格朗日预解,一个元素其 p次幂已知。

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In fact, in his proof of this proposition, Galois uses an element of the form θ + α·θ1 + α^2·θ2 + ... + α^(p - 1)·θp-1 ...

---- 事实上,在他对此命题的证明中,伽罗瓦使用的元素具有形式 θ + α·θ1 + α^2·θ2 + ... + α^(p - 1)·θp-1 ...

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简记:(θ ~ α)p-1 体系。

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...which is reminiscent of the Lagrange resolvent or, perhaps more immediately, of Gauss's use of an analogous technique in the reduction of the finding of pth roots of unity to the extraction of roots. (See S25.)

---- 它使人想起拉格朗日预解,或者也许更直接地,高斯的类似技巧,即把寻找单位 p 次根约减为根的提取。见 S25。

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评论:伽罗瓦使用的预解  θ + α·θ1 + α^2·θ2 + ... + α^(p - 1)·θp-1 

---- 从形式上看,是关于 α 的 p - 1 次多项式。

---- 但此处 α 已知,诸 θ 未知。

---- 其中的思想来源于拉格朗日预解

---- 高斯使用过类似技巧。 

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小结:第一段给出了证明的总体思想:拉格朗日预解及其伽罗瓦形式 —— (θ ~ α)p-1 体系。

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证明的第二段(前导)。

The objective is to determine θ, θ1, θ2, ..., θp-1 in such a way that the Galois group merely permutes them cyclicly;...

---- 目标是确定 θ, θ1, θ2, ..., θp-1 使得伽罗瓦群仅对它们做循环排列;...

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评论:此处已经体现出 “群的作用”,而抽象代数里却绝口不提。

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简记:G[θ] <=> C[θ]

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... then θ + α·θ1 + α^2·θ2 + ... + α^(p - 1)·θp-1 is multiplied by a power of α by elements of the Galois group, and its pth power is invariant under the Galois group, ...

---- ...然后给 θ + α·θ1 + α^2·θ2 + ... + α^(p - 1)·θp-1  乘以 α 的幂 (使用伽罗瓦群的元素),并且它的 p 次幂关于伽罗瓦群不变,...

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评论:α 的幂 (使用伽罗瓦群的元素),大概是指 α^g(?),其中 g 是伽罗瓦群的元。

---- 若此,则体现出一种惊人的创造性和灵活性。 

---- 但很难看出 α^g 的意义。

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加评:从后文看,没有α^g 这种东西,而是把 α 替换成 α^j。

---- 推测此替换是 “by elements of the Galois group” 来完成。

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特评:“its pth power” 是指 “θ + α^j·θ1 + α^2j·θ2 + ... + α^(p - 1)j·θp-1” 的 p 次幂。

---- 这个做法也有惊人的创造性和灵活性。

---- 另一方面来讲,“做幂” 在多项式场合也可能是常用手法 (待考)。

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简记:替换版的体系记作 (·j)

---- 则 G(·j)^p = (·j)^p

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... so that, by Proposition 1 (S41), the pth power is a known quantity.

---- ...这样,由命题1,此 p 次幂是已知量。

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评论:命题1开始发挥效用。

---- 引理1是 “原子” 层面,命题1是 “分子” 层面。

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小结:预解的具体构造(即如何达成拉格朗日的 “已知”) —— (·j) ——以及对“已知”的验证 —— G(·j)^p = (·j)^p

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证明的第三段(前导)。

For his choice of θ, Galois simply says that it should be an element of K(a, b, c, ...) — "a function of the roots" — which is invariant under G' but not invariant under G.

---- 对于 θ 的选择,伽罗瓦只说它应该是 K(a, b, c, ...) 的元素 — “根的一个函数” — 它关于 G' 不变,而不是关于 G 不变。 

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(However, at this crucial point — and one should think of Poisson here — Galois says the opposite of what he means and requires that θ “not vary for other substitutions” than those in G' instead of “does not remain invariant for other substitutions.”)

---- (然而,在这个关键点 — 应该在这里想到泊松 — 伽罗瓦说反了...要求 θ 在 G' 以外 “不对其它置换变化” ...而不是 “不对其它置换保持不变”)

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评论:括弧里这一句只是为了说明伽罗瓦原文里的一个状况,可能也是当初让泊松感到费解的地方。

---- 对于原创度高的手稿,评阅人只能依赖作者的表述,因为头脑中尚未建立作者的完整观念,而事先也不确定它就对,处于检查和验证的状态 —— 这种情况下,如果作者的表述里某个地方说反了,很容易被判为不对。这种情况,妥善的做法是就不理解的地方提出具体的问题,越具体越好。

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In a marginal note, he indicates the following proof that such theta's exist.

---- 在一个页边注里,他指示了如下的证明,即这样的 θ 是存在的。

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评论:从此段的第一句话来看,θ 的作用是区分 G' 和 G。

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小结:证明的前三段(前导) 读写完毕。

---- (θ ~ α)p-1 体系;G[θ] <=> C[θ] 等效循环 、j-版体系 (·j)、“已知性”(p次幂不变性) G(·j)^p = (·j)^p;θ 的变与不变。




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