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神奇的斐波那契数列 精选

已有 5059 次阅读 2021-2-2 09:21 |个人分类:读书札记|系统分类:海外观察

      斐波那契数列:

112358132134

有一些奇特的性质,引起了海内外数学家、物理学家、生物学家、化学家、天文学家、建筑师和艺术家,甚至社会学家和市场分析师的关注。

伽利略说过:“数学是上帝书写宇宙的字母表。” 有人把斐波那契数列称为是“大自然的密码”和“大自然的普遍法则”。事实果真如此吗?我们将在三篇博文中,分别从数学、科学和美学三方面进行介绍。

数学家斐波那契

斐波那契的真名是莱昂纳多·皮萨诺·比戈洛(Leonardo Pisano Bigollo1170-1250),也被称为比萨的莱昂纳多(Leonardo of Pisa),是意大利比萨共和国的数学家。19世纪的历史学家给予他“斐波那契(Fibonacci)”这个绰号,大致意思是波那契家族之子,以把这位数学家和意大利著名画家、科学家列昂纳多·达·芬奇(Leonardo da Vinci)区分开。

                                               image.png

1  斐波那契像(左)和比萨的斐波那契雕像(右)

斐波那契被认为是“中世纪最有才华的西方数学家”。1202斐波那契出版的巨著《Liber Abaci(自由阿巴奇)》(参考资料[1]),是最早描述印度——阿拉伯数字系统和使用类似现代阿拉伯数字符号的西方书籍之一。有趣的是,书中还包含算术和几何级数求和,联立线性方程组,完全数问题,中国剩余定理问题等等许多数学问题的解决方案,对数学发展做出了重大贡献。事实上,今天常用的一些数学术语最初是在《Liber Abaci》中引入的。例如,斐波那契提到了一个数的因子一个乘法的因子分子分母等等。该书被认为是13世纪数学百科全书。它数学严谨,应用性强,描述生动,展示了如何将数学工具应用于商业和贸易中——度量和货币的转换、利润的分配、利息的计算、货币的合金化等等。

这本书是欧洲第一本解释今天称为“斐波那契数列”的书。其实,并非斐波那契第一个发现这个序列的,因为之前,印度数学家就已经知道了——它早出现在使用印度教阿拉伯数字系统的古代梵文文献中,该文献比比萨的莱昂纳多早了几个世纪。

在《Liber abaci》书中的一个地方,斐波那契讨论了兔子繁殖问题,把现在被称为“斐波那契数列”的数列介绍给西方世界。但是,在书中只有一段关于繁殖兔子的短文,之后他再也没有提到这个数列。

直到19世纪,数学家们对该数列的性质进行了更多的研究。1877年,法国数学家爱德华卢卡斯(édouard Lucas1842-1891正式将兔子问题命名为斐波那契数列。有趣的是,卢卡斯思考过序列的开始,想知道如果序列是从13开始,而不是从11开始,会发生什么。这个新数列(遵循相同的加法规则,也称为“卢卡斯数列”)是:13471118294776123,然后卢卡斯将它与斐波那契序列进行了比较。

兔子问题

兔子问题是一个假想的繁殖过程:兔子永远不会死,每个月每对成兔(成熟的兔子)都会产一对幼兔(在下个月成熟)。著作Liber abaci》中,斐波那契说:让我们想象一对兔子(雌雄)。假设它们不能在出生后的第一个月繁殖。第二个月后,成熟的雌性产下一对新的幼兔。每一对都以同样的方式繁殖。问题是:一年后兔子对的数量是多少?

从虚构的一对幼兔(一只幼兔和一只幼兔)开始,第一个月兔子的总数是1对。第二个月,这对幼兔成长为成兔,月底,他们交配,但兔子仍然总数是1对。第三个月,月底雌兔产下了一对新的兔子,现在兔子总数是2对。第四个月,月底原来的雌性生产第二对(也是雌雄各一只),兔子总数3对。第五个月,月底原来的雌性又产下了一对新的,两个月前出生的雌性也产下了第一对幼兔,兔子总数共5对。…这个过程可以用下图表示:

image.png

图2 兔子繁殖

递归公式

如果用B(n)表示第n个月所生的幼兔,用A(n)表示第n个月成兔的数目,用F(n)表示第n个月兔子总数,容易看出:第n个月的成兔数目,是上个月兔子总数; 第n个月的幼兔数目,是上个月成兔的数目,也就是上上个月的兔子总数。即:

A(n)=F(n-1)

B(n)=A(n-1)=F(n-2)

因此,第n个月的兔子总数(成兔+幼兔)是前两个月兔子总数的总和:

F(n)=A(n)+B(n)=F(n-1)+F(n-2)

表1表示从一对幼兔开始的序列正是斐波那契数列。从中我们可以看出,十二个月后会有144对兔子。注意,表中总数F(n)、成兔A(n)和幼兔B(n) 三列,分别从第1个月、第2个月和第3个月开始呈现斐波那契数列模式。

表1 兔子繁殖过程

n

幼兔B(n)

成兔A(n)

总数F(n)

1

1

0

1

2

0

1

1

3

1

1

2

4

1

2

3

5

2

3

5

6

3

5

8

7

5

8

13

8

8

13

21

9

13

21

34

10

21

34

55

11

34

55

89

12

55

89

144

在计算机程序设计书籍中,优美的递归公式:

F(n)= F(n-1)+F(n-2)

经常被用于介绍递归编程的示例。例如,图3 Python程序包含递归计算斐波那契数列第n项的函数(只是用于演示目的,这个程序还可以进行多方面优化)。

image.png

图3 计算斐波那契数列第n项的Python程序示例

杨辉三角形

在数学中,杨辉三角形是出现在概率论、组合学和代数中的二项式系数的三角形数组。在西方世界的大部分地区,它是以法国数学家布莱斯·帕斯卡的名字命名的,尽管中国以及印度、波斯、德国和意大利的数学家早在他之前几个世纪就研究过它。

斐波那契数列与杨辉三角形(即,帕斯卡三角形)有关联:杨辉三角形中的对角线之和,是斐波那契数,如图4所示。

image.png

4 杨辉三角形沿对角线求和得到斐波那契数列

黄金分割比

斐波那契数列与黄金分割比紧密相连。斐波那契数列中的数字之比,当数列趋于无穷大时,无限接近黄金分割比,即1.618033987498948482。由此还可以计算出所谓的黄金螺线,或者一个对数螺线,其增长因子等于黄金分割比。

如果我们取斐波那契数列(11235813)中连续的两个数的比值(将每个数除以前面的数),我们将得到以下数列:

1/1 = 1,   2/1 = 2,   3/2 = 1.5,   5/3 = 1.666...,   8/5 = 1.6,   13/8 = 1.625,   21/13 = 1.61538...

5是分别是计算数列{f(n+1)/f(n)}{f(n)/f(n+1)}的前15项的结果。可以看出,当n较大时,f(n+1)/f(n)f(n)/f(n+1)分别是1.6180.618,逐渐接近φ和1/φ

如果Fi 表示第i个斐波那契数(i=1,2,3,…),则有:image.pngimage.png                                  

                                                           

也就是说,连续两个斐波那契数之比的极限是黄金分割比,或者说,连续两个斐波那契数之比是黄金分割比(无理数)的有理形式。

image.png

5 连续两个斐波那契数之比

黄金分割比在英文文献中有各种不同的名称,比如,golden section(黄金分割), golden mean(黄金均值), golden number(黄金分割数), divine proportion(神圣比例), divine section(神圣分割) golden proportion(黄金比例)等,在本博文中,统一称黄金分割比。公元前300年,欧几里德把它描述为极端和平均的比例(extreme and mean ratio。早在文艺复兴时期(15世纪到16世纪),艺术家知道它是神圣的比例。“黄金分割比”一词直到19世纪才出现。数学家马克·巴尔(Mark Barr)建议使用希腊雕刻家菲迪亚斯(Phidias)的名字的第一个字母来表示黄金分割比。通常使用小写形式φ。 有时,大写形式Φ用于φ的倒数1 /φ,也称为黄金分割比。

黄金分割比φ满足:image.png,即

image.png

一方面,从二次方程容易推出:

image.png

可以进一步得到:

image.png

另一方面,还可以得到有趣的公式:

image.png

以及

image.png

黄金矩形

斐波那契数列(1123581321…)可以用图形表示。我们首先画一个边长为1个单位的小正方形,再画第二个边长为1个单位的小正方形,一条边接触并对准,组成一个矩形(长宽之比1:2)。然后画边长为2个单位(2=1+1)的小正方形,一条边与前面的两个小正方形组成的矩形一个长边接触并对准,与已经画的正方形组成一个新的矩形(长宽之比2:3),再画边长为3个单位(3=1+2)的小正方形,一条边与前面矩形的一个长边接触并对准,组成更大些矩形(长宽之比3:5)。接着画边长为5个单位(3=1+2)的小正方形,一条边与前面矩形的一个长边接触并对准,组成更大些矩形(长宽之比5:8。以此类推,每画一个新的正方形(边长都是斐波那契数列的数),与已经画的正方形组成的矩形,长宽之比都是两个连续斐波那契数之比,我们称之为斐波那契矩形。而长宽之比为黄金分割比的矩形,黄金矩形。图6是平铺平面的一个例子。

image.png

6 使用边长为连续斐波那契数的正方形的平铺。

如果我们把组成较小矩形的平方和表示出来,我们得到这个模式:

image.png

这个规律它告诉我们,斐波那契数的平方和,等于斐波那契数列中最后一个数和下一个数的乘积。如果Fi 表示第i个斐波那契数(i=1,2,3,…),则有:

image.png

黄金螺旋

斐波那契螺旋线,也称“黄金螺旋”,是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线。黄金分割比用螺旋形的贝壳表示。在图7中,壳的生长区域以正方形绘制。如果两个最小的正方形的宽度和高度为1,则其下侧的正方形的边为2。其他正方形的边是358。像图8这样的斐波那契螺旋,事实上与图7中的正方形使用相同的平铺的趋势。斐波那契螺线以φ或黄金分割比为基础,螺线在转了四分之一圈后,它变宽了一个因子φ

这种螺线在自然界和艺术中都能被发现。螺旋形是由一种称为自相似或缩放的生长特性产生的,这种特性是指尺寸增大但形状保持不变的趋势。

image.png

7 斐波那契螺线

黄金三角形

8(A)是特殊的等腰三角形,或称黄金三角形,AB=φ•BC。图8(B)有两条不相交对角线的规则五边形, d5=φ•s5。图8(C)五角星,用了不同的颜色来区分不同长度的线段。四个长度——定义在边缘的交叉处——彼此成黄金比例。红色是绿色的1.618倍;绿色是蓝色的1.618倍;蓝色是品红的1.618倍。此外,较短线段的长度与由两条相交边(五角星中心五边形的一条边)限定的线段的长度之比为φ,如四色插图所示。五角星包括10个等腰三角形:五个锐角和五个钝角等腰三角形。黄金三角形有2种:第一种是等腰三角形,两个底角为72°,顶角为36°,三角形的一腰与底之长之比为黄金分割比φ。图8(D)通过连接正十边形相对的顶点,划分出10个黄金三角形。

image.png

8 黄金三角形

简洁美丽的公式

如果Fi 表示第i个斐波那契数(i=1,2,3,…)按照斐波那契数的定义:

image.png

我们可以有如下简洁、美丽的公式(头三个公式在前面见过):

image.png

上述最后一个公式是计算第n个斐波那契数的Binet公式。

此外,

(1)任意十个连续斐波那契数之和可被11整除:例如,

13+ 21 + 34 + 55+ 89 + 144 + 233+ 377 + 610 + 987 = 2,563

正好可以被11整除,因为

11×233 == 2,563.

(2)连续斐波那契数是相对素数:也就是说,它们的最大公约数是1。

(3)处于复合数位置的斐波那契数(第四个斐波那契数除外)也是复合数。另一种说法是,如果n不是素数,那么Fn就不是素数(n=4除外,因为F4=3,是一个素数)。

(4)如果p可被q整除,那么Fp可被Fq整除。例如,p=6可被q=3整除,则Fp=8可被Fq=2整除。

还有许多这样的关系式,真是令人难以置信。加上斐波那契数列在自然界许多地方出现,及其在许多领域的广泛应用,引起几代数学家对它感兴趣也就不足为奇。

结语

虽然斐波那契数列不是斐波那契首先发现的,但斐波那契编的Liber Abaci(自由阿巴奇)》,通过编译和集成印度、阿拉伯和中国文献中的数学成果,对数学发展做出过重大贡献,并帮助欧洲走出中世纪迷信,发展成为世界科学中心。

虽然真实的兔子繁殖不是真正按照斐波那契数列模式,斐波那契数列有一些惊人的特性,使得它成为灵活的数学工具,描述从宏观(如,银河系)到微观(如,量子世界)的许多自然现象。

近年来斐波那契数列和黄金分割比在物理学、量子力学、密码学和拓扑量子计算等领域,引起了人们的极大兴趣。

对这些,我们在下一篇博文中将进一步讨论。

附录

黄金比率φ已经计算得出的精度为小数点后面2万亿(2×1012 = 2,000,000,000,000)个数字。如下是小数点后面一千位的φ

φ=1. 6180339887498948482045868343656381177203091798057628621 35448622705260462818902449707207204189391137484754088075 38689175212663386222353693179318006076672635443338908659 59395829056383226613199282902678806752087668925017116962 07032221043216269548626296313614438149758701220340805887 95445474924618569536486444924104432077134494704956584678 85098743394422125448770664780915884607499887124007652170 57517978834166256249407589069704000281210427621771117778 05315317141011704666599146697987317613560067087480710131 79523689427521948435305678300228785699782977834784587822 89110976250030269615617002504643382437764861028383126833 03724292675263116533924731671112115881863851331620384005 22216579128667529465490681131715993432359734949850904094 76213222981017261070596116456299098162905552085247903524 06020172799747175342777592778625619432082750513121815628 55122248093947123414517022373580577278616008688382952304 59264787801788992199027077690389532196819861514378031499 741106926088674296226757560523172777520353613936…

参考资料:

[1] Fibonacci's Liber Abaci. Springer. 2002

[2] Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Fabulous Fibonacci Numbers. Prometheus Books.2007




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