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学习《数学分析》的开悟与感想

已有 8270 次阅读 2021-3-15 21:13 |系统分类:科研笔记

我近来自学一本《数学分析》和一本与之不配套的《数学分析》指导书,感觉任何一页只看一遍都是不行的,需要反复看。看着看着,我也会有一些开悟或感想。这些开悟,对于数学专业人士而言,肯定就是显然的,不过,对于我来说,则是很有意义的。至于感想,当然是针对心理学研究的。

话说看着证明数列收敛和函数有根的例题,我突然有三点开悟:其一,数学分析研究的是无限的问题;其二,数学分析研究的是抽象的问题;其三,数学证明需要简洁——证明简洁的基础是基本数学定理,因此,发现并证明数学基本定理是极重要的。研究数学的无限问题,需要研究数的基本性质,需要对数进行分类。研究数学的抽象问题,需要舍弃数学问题的各种具体形式,例如,函数就用f(x)表示,根本无需用任何具体的表达式,同时,这样的没有任何表达式的函数是普适的、高级的。

数学分析或者高等数学的研究是这样的思想与路线,那么,心理学的研究也应当遵循或采用这样的思想与路线,特别是研究抽象的、一般的心理学问题,这样才能把心理学从琐碎的、繁杂的研究中解脱出来,才能把心理学真正发展成为坚实的科学。我想起了华生,想起了斯金纳,想起了激进的行为主义心理学。我预测,若干年(例如,5年、15年)后,心理学会有这样的“文艺复兴”。

当看到分段函数,特别是后面对应的自变量的范围时,我马上想到心理学研究中的调节分析,认为调节分析可以更为精细,即从分段函数的角度思考和努力。如果加强心理学研究的数学基础,那么,有望使心理学研究得到切实的提升。目前,心理学研究流行实证,通行对数据进行统计分析,然而,大多研究者都止步于用统计软件获得统计结果,真正从数学角度理解心理学问题和心理学研究的尚且太少。

我看到不定积分的内容,见上面说原函数与不定积分是个体与整体的关系,这让我马上想到心理学研究。一个不定积分可以有许多原函数,不定积分的表达式中有一个常数C。我想,如果可以对人类个体的某种行为或心理属性写出“原函数”,那么就可以用不定积分的形式求出这种行为或心理属性的一般特点或规律,而常数C可以表示个体差异。我认为,这是解决心理学研究中个体差异的一种途径。

同时,如果将研究同一心理学问题的不同结果看作原函数,那么,求其不定积分,也将得到这个心理学问题的规律。现在的作法是进行元分析,如果能用微积分的方法研究这个问题,那将是极有价值的。当然,由于元分析技术已经提出很久,只需要效应量即可,研究者会在惯性之下,认为这样就行,不需要其他方法和技术了。尤其是,用求不定积分的原理探索心理学的一般规律,需要把原始研究写成数学表达式,而这本身就得进行系统研究。

我看到《数学分析》上的两页内容,用5种方法解一道不定积分题,所得结果的表达式不同。题后有专门提示,指出这些表达式是等价的。我立即意识到,这道题可以成为一个经典例子,用来说明表面的差异是次要的,实质等价或相同才是主要的。在心理学研究中,即使对同一问题的考察,研究者也往往采用不同的范式或方法,从而,很容易得到表面不同的结果,那么,由这里数学分析所展示的,心理学研究结果的差异或分歧,或许并非像乍看起来那样不同。

我知道,数学是数学,心理学是心理学,两者的学科性质、研究对象、研究任务、研究方法存在差异。显然,不同学科相互学习和借鉴总是可能和应该的,何况,数学原本就是诸多学科的基础。对于科学性时不时受到质疑的心理学,学习和借鉴数学分析的思想与路线,将是更有意义和价值的。



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