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宇宙学还可以这么学之基础篇第8回 精选

已有 4577 次阅读 2015-9-29 16:54 |个人分类:宇宙学还可以这么学之基础篇|系统分类:科普集锦| 相对论, 爱因斯坦, 引力, 宇宙学常数, 宇宙学还可以这么学

【宇宙的微扰理论——背景和扰动】

这天,司马弦兴奋地来到办公室,一进门就打开了话匣子:“小雨,在忙什么呢?我和导师终于做完了一个工作,结果还挺有意思,没有枉费这么多天的努力,想起来还有点小激动。”

张小雨:“师兄,你好厉害,给我讲讲你们都做了些什么研究?”

司马弦:“嗯,这个一两句话说不完,主要是如何从现有的观测数据来得利宇宙的演化历史,并且在这个过程中不预先引入任何宇宙模型,以后挑个时间仔细给你讲吧。还是先说说你,几天不见,在忙什么呢?”

张小雨:“最近正在学一个非常繁琐的东西——微扰理论,但老师说这部分内容非常有用。”

司马弦:“老师说的没错,如果没有扰动,世界是多么平淡无奇呀……”

张小雨:“师兄你就先别抒发感情了,赶紧跟我讲讲这个东西吧!”

司马弦:“好吧。首先我们要弄清楚一点,什么是扰动?”司马弦拿起粉笔在黑板上画了一条直线,接着说道,“举个例子,我现在画的是一个平静的水面,如果你扔下去一颗石子,水面就不再平静,而是泛起涟漪。通常,我们可以把原来平静的水面看成一个背景,而丢下去的石子则对这个背景产生了作用,作用的结果就是泛起的涟漪,我们把它叫做对背景的一个扰动。现在,如果原来的水面并不平静,而是在匀速流动,我们仍旧可以把这个匀速流动的水面作为一个背景。”

张小雨:“哦,我有点明白了。那么,如果原来的水面就已经被风吹得乱动,我再扔一颗石头进去的话,又会怎么样呢?”

司马弦:“这个问题有点复杂,主要看你研究的问题是什么了。如果你想知道水面被风和石头作用的综合效果是什么,就把它们一起看成对平静水面的扰动;但如果你想知道再扔一个石头的效果是什么,那么则应该把被风吹得乱动的水面作为一个背景了。所以,背景和扰动的选择不是唯一的。”

张小雨:“那在宇宙学中,我们怎么选择呢?”

司马弦:“直观上讲,把均匀和各项同性的宇宙作为背景,其他的都看成是扰动是比较自然的。你之前学的都是在研究宇宙背景的演化和历史。”

张小雨:“哦,微扰又是什么呢?”

司马弦:“从字面上讲,微扰就是微小的扰动。数学上要求某一个物理量的扰动远远小于它的背景。”

张小雨:“那为什么要研究微扰呢?直接研究扰动不就完了?”

司马弦:“呵呵,你以为大家不想吗?说实话,直接研究扰动很困难,而且没有普适的方法,但是微扰就相对简单一些,至少计算上可以做一些有益的近似。”

【宇宙的微扰理论——为什么要研究它】

张小雨:“现在我明白什么是微扰了,可是宇宙学中为什么要研究这么个复杂的东西呢?”

司马弦:“因为它有用。仅仅有个宇宙背景在演化是不行的,必须要有扰动来生成宇宙的大尺度结构。

张小雨:“这一点怎么理解呢?”

司马弦:“我们知道,引力是一种吸引力,并且这种力和质量成正比。假设我们的物质分布一开始是均匀的,比如一片平坦的沙漠。某一时刻,在某个地方出现了一个扰动,使得这个地方的物质多了一点,比如沙漠中鼓出了一个小沙堆,那么这个地方的引力就变得比其他地方强,于是越来越多的物质聚集在一起,比如沙堆变成了沙丘。同样,在宇宙中,这些微小的扰动最终就会形成一个个的结构,比如星系,星体等。想象一下,如果没有扰动,也就没有我们了。当然,这里要注意一点,并不是所有的扰动都会最终保留下来形成结构。”

张小雨:“师兄能再说得仔细一些嘛?”

司马弦:“好吧。我们来看一个方程,虽然这是个简单的情形,但弄懂了以后,复杂的也一。”司马弦在纸上写下:“

$\ddot \delta + c_s^2 k^2 \delta - 4\pi G\rho_0 \delta = 0$

这里的 $\rho_0$ 是背景的物质密度,整个物质密度被分为两个部分:

$\rho = \rho_0 + \delta\rho = \rho_0(1+\delta)$

即‘背景+扰动’。这里的 $\delta = \delta\rho/\rho_o$ 被称为相对密度扰动,是一个无量纲的量,k是波数,即波长的倒数。上面这个微分方程其实就是牛顿力学框架下,流体微扰理论中的一个方程。方程中的其它量可以暂时看成常数。这个方程有一个波动解:

$\delta \sim e^{-i E t}$

其中,能量E满足爱因斯坦质能关系(或者叫色散关系):

$E^2 = c_s^2 k^2 - 4\pi G \rho_0$

你看,如果它右边大于零,则的确是个波动解,可是如果右边小于零的话,E是一个虚数,带入波动解后,你会发现e指数上是一个实数。换句话说,扰动要么指数增长要么指数衰减。当然,我们感兴趣的是指数增长的解。现在已经很清楚了,只有波数k小于一定值的扰动才能增长成结构。这个值就是有名的金斯波数

$K_J = \sqrt{\frac{4\pi G\rho_0}{c_s^2}}$

也就是说波长长的扰动才有可能是增长的。”

张小雨:“懂了。感觉扰动和上帝一样重要呀,嘿嘿,否则就没有人类了。可是,扰动是从哪里来的呢?”

司马弦:“有可能是量子扰动,有可能是热扰动,有可能是其他原因,当然,也有可能是这几种情况都有,有兴趣的话可以仔细研究一下。”

【宇宙的微扰理论——牛顿VS爱因斯坦】

司马弦:“讲到这里,你就可以很顺利得看懂牛顿力学框架下的宇宙扰动理论,无非是引入了宇宙背景演化对扰动方程的影响,我就不再详细讲了,相信你完全能自己掌握。”司马弦思索了一番接着说道:“其实,我们所研究的宇宙背景是FRW度规,而扰动则包括度规的扰动和宇宙中物质组分的扰动,因此,严格得说,应该采用爱因斯坦框架下的微扰理论。只是在有些情况下,相对论的效应可以忽略,采用牛顿引力也能得到正确的结果。”

张小雨:“哦,原来如此。可是怎么研究爱因斯坦引力的微扰理论呢?是不是很复杂?”

司马弦:“复杂是肯定的,不过学下来还是很有意思的。”

张小雨:“那什么时候应该用爱因斯坦微扰理论,什么时候用牛顿的呢?”

司马弦:“这是一个好问题。我们先来看看爱因斯坦微扰理论究竟为什么复杂。你知道爱因斯坦方程是联系时空曲率和物质能量的一个方程,如果产生了一个物质密度的扰动,必定会通过这个方程传递给时空,继而引起描述这个时空的度规的扰动,反之也相同。而在牛顿力学中,时空是绝对的,因而也不存在时空本身的扰动,因此只要考虑物质部分的扰动就可以了。所以,一旦我们需要考虑时空本身的扰动情况时,就必须在爱因斯坦引力框架下使用扰动理论。”

张小雨:“我明白了。可是爱因斯坦的理论真的很复杂,公式也有很多,还要考虑规范的选取问题,师兄你有什么好的方法来学习它吗?”

司马弦:“知道卖油翁的故事吧,他可以从铜板的孔中将油注入葫芦里,油从钱孔注入而钱却没有湿,其原因很简单。”

张小雨抢着说道:“这个我知道,手熟嘛!”

司马弦:“是呀,学物理也是一样的,别看公式很多、很繁,一次一次得去接触它、分析它、甚至推导它,你就会觉得它是那么亲切!至于爱因斯坦引力框架下的微扰理论,我下次再和你聊吧。”

张小雨:“嗯。谢谢师兄!”

(未完待续……)

【博主按】

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