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样条空间维数传奇

已有 6485 次阅读 2012-11-8 15:48 |个人分类:数学故事|系统分类:科研笔记| 空间, 传奇, 样条

 
 
二元样条空间维数问题,是逼近论中最吸引人的问题之一。这篇博文将简要介绍样条空间维数问题及其发展历史,从中我们可对一些数学问题的发展过程窥豹一斑。对于这个具体的问题,多个不同领域的数学家曾经涉入,他们有的日后在几何、拓扑等领域声名卓著,有的则因此获得了离散数学界的最高奖项:Fulkerson 奖,更多的则为逼近论提出了丰富的理论及方法。
我们先从样条的概念说起。如所知,样条函数即是分片光滑的多项式函数。我们知道一些初等函数的表达公式,如:多项式、指数函数、三角函数、有理函数等。我们能用显示公式写下来的函数多是这些初等函数及其复合或组合。这在很多场合,特别是当我们需要将函数形式能明显写下来的场合,并不能满足人们的需要。于是,分片多项式函数,也就是样条函数,便出现了。人们能够写下样条函数的显示表达公式,而且它也能按人们意愿表达足够复杂的函数曲线。重要的是,人们能够比较容易的控制函数的曲线形状。
一元的样条函数是将实轴进行剖分,在每一个剖分区间内部为一多项式,并要求相邻区间上的多项式可以拼接起来。用数学语言来说,也就是要求存在 r 阶导数,这里的 r 是事先给定的。如果我们要求每片多项式次数都不超过 d 次,那么我们称样条函数为 d 次 r 阶光滑的。
在剖分给定的情况下,所有 d 次 r 阶光滑的样条函数组成一线性空间。自然,人们问这一线性空间维数有多少?对于一元,这一问题是平凡的。但到了多元,即使是二元,问题就复杂得多。
为定义二元样条函数,人们首先需要一个剖分,通常选择三角剖分。那么,d 次 r 阶光滑的二元样条函数空间为如下函数所组成的空间:
在每个三角内部为次数不超过 d 的多项式函数,但整体为一个 r 阶光滑的函数。
人们自然问:
给定三角剖分,定义在其上的d次r阶光滑的二元样条空间的维数为多少?
人们希望只通过次数 d, 光滑度 r, 及三角剖分的拓扑信息:边数、顶点数、三角形个数,给出维数公式,而不借助三角剖分具体的几何信息,例如顶点的具体位置。
 
该问题是 G. Strange 在1973年提出的 (参考[1])。C. de Boor在文章中提到(参考[2]),他在1973年参加一数值分析方面的会议,Strange向他提出这一问题,他不能回答,并由此感觉很糟糕
"I felt like a fraud for not being able to solve that problem right then and there".
 
但随后的发展表明,这一问题是非常困难的。人们首先考虑的是:我们想要的公式存在吗?不幸的是,这样的公式并非总是存在。1975年,Morgan, Scott构造了个一简单的三角剖分(如下图黑色直线所形成的三角剖分),(Morgan日后在几何方面名声卓著)
在该三角剖分上,d=2, r=1的二元样条空间维数依赖于剖分的几何信息。 事实上,如果三条绿线相交于1点(如图),那么维数就是7,否则就是6。但绿线根本就不出现在三角剖分中,能否相交于一点也是由剖分顶点的几何位置决定的。不过,提出这一反例的论文却最终没有发表。据说是因为那篇论文中,除了这个反例,其余的结果均是不正确的。所以,当人们引用的时候,不能不引用一篇未出版的手稿。Morga-Scott的反例只是对(d,r)=(2,1)的情形。对于一般的(d,r),我在读硕士研究生的时候曾经进行过考虑。记得当时的结论是 :
如果d<=2r, 这种奇异性就会出现。特别是当d接近于11/6*r的时候,奇异性达到最大,甚至可趋向于无穷。
这可能是我做的第一个纯粹理论方面的结果。当时的主要感觉是利用逼近论中现有的工具与方法,难以对一般三角剖分上的维数做出实质性进展。所以随后转向了box 样条函数的研究。
因为如上所述的奇异性,人们只能假定d>=2r+1. 并考虑在此条件下任意三角剖分上的维数。
首先对这一问题作出进展的是Morgan, Scott [3]. 他们事实上是对次数d>=5, 光滑度r=1的时候,给出了维数公式。在以后的日子里,这一问题不断地被人们所研究。1987年,Alfeld 和 Schumaker对d>=4r+1的时候,给出了任意三角剖分上的维数公式。随后,d=4, r=1的时候,也给出了公式。1991年,Hong Dong 将这一结果扩展至d>=3r+2 [4]. 这一纪录保持了很久。而这些结果主要借助于B-网方法得到的。这是人们在证明Weierstrass逼近定理的时候就开始考虑的一种多项式表示方法的扩展。
出人意料的是,1988年,主要做离散数学和代数的 Billera 发表了一篇论文,采用了完全不一样方法对样条空间维数进行了研究。Billera主要基于王导师70年代末提出的光滑余因子方法,然后对这一方法从代数的角度重新进行了诠释,并在此基础上用代数的方法进行了深入地研究。它主要结果是对几乎所有三角剖分给出了样条空间维数公式。注意这里有一个名词“几乎所有三角剖分”。Billera的论文充斥了太多代数术语,所以我并不认为从事逼近论的人会对他的方法有真正的兴趣。其后,他的方法发展也主要是他的学生在做。而在逼近论领域,似乎也只是引用他的结果。虽然在逼近论领域反响不大,但Billera却因此在1994年获得了离散数学中的最高奖:Fulkerson 奖。其获奖词是"Louis Billera for finding bases of piecewise-polynomial function spaces over triangulations of space". 当时,可能谁都没有料到,问题的最终解决,却是沿着该路线. 其后样条空间维数问题也多有人从事,但大多是对三角剖分加多种条件,然后研究其上的维数.
 

 
当然,样条空间维数的故事并不会终止,仍然在继续。人们会关心其在一些特定剖分,如T-型剖分,的维数公式和多变量的维数公式。这些研究可能不能给我们带来直接应用结果,但可以让人们对样条空间有更为深入地了解,进而发展出多种控制样条函数的手法。既有应用后盾, 又有纯粹的数学基础,我相信这一问题依然会很长时间散发芳香,只是我不再属于这一空间...
 
[1] 1973. G. Strang, Piecewise polynomials and the finite element method, Bull. Amer. Math. Soc. 79, 1128--1137.
 
[2] C. de Boor, The way things were in multivariate splines: A personal view, Multiscale, Nonlinear and Adaptive Approximation  2009, pp 19-37.
[3]1975. Morgan, J., and R. Scott, A Nodal Basis for C1 Piecewise Polynomials of Degree n >=5 , Math. Comp. 29, 736-740.
[4] 1991. Hong, D., Spaces of bivariate spline functions over triangulations, J. Approx. Th. Applic. 7, 56--75.
[5]1988. Billera, L.,, Homology of smooth splines: generic triangulations and a conjecture by Strang, Trans. A.M.S. 310, 325--340
 


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