mymath的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/mymath

博文

高斯函数---最接近上帝的函数 精选

已有 31867 次阅读 2012-9-7 18:55 |个人分类:数学故事|系统分类:科研笔记| 热传导, 函数, 桥梁, 分布, 高斯

在所有函数里面,如果让我选择一个最特别的函数,我会选择高斯函数。而且,我将高斯函数称为最接近上帝的函数。高斯函数事实上是指形式如下的一类函数:
$ aexp(-frac{(x-b)^2}{2c^2}) $
高斯函数的确有很多特别之处,虽然我并不能够真正完全洞悉它的内在,但我依然认为它是最接近上帝的函数。

在前面的博文里,我曾经将Fourier变换比作西游记中的照妖镜。在照妖镜里仍不能现出原形的大抵只能是法力很高的东西了。而在函数群体里,高斯函数的确有这种特质:即使你用照妖镜,你看到的仍然是一个高斯函数。也就是,高斯函数的Fourier变换仍然是高斯函数。用数学的语言来说,就是高斯函数是Fourier变换的特征函数。由此可见,高斯函数在函数群体里,的确属于法力很高的一个,因此我将其称为最接近上帝的函数(如果你喜欢,你也可以称其为最接近如来佛的函数)。

如果你觉得上面的这个说法太过于“神化”,那我们就来个科学的。热力学定律被认为是宇宙的基本法则,包含了能量守恒,熵等等。当然,扯上了“熵”就会有“时间之箭”之类的。此非我专长,就此打住。描述热的传播规律当然是用热传导方程。而热传导方程的解,确是初始的温度场和高斯函数的卷积。也就是,在理想情况下,热的传导规律是由高斯函数来确定的。

如果你觉得上面的说法过于“科学”,那我们就再来个关于上帝的。上帝创造世界,一切似乎都是无规律的。各种物件的尺寸分布似乎无任何规律:如人的身高、树叶的面积、星球的大小等等。但今天我们知道,这些看似无规律的背后其实是正态分布。而正态分布的密度函数就是高斯函数。也就是说,这些表面看来毫无规律的东西,如果放在一起,就会出现高斯函数。这使得我们不由得问:难道世界的创造真是按照高斯函数来进行的吗?

如果你觉得上面的说法统统离你太远,那么就欣赏一下颐和园里的拱桥。看来中国古代建筑师也是按照高斯函数来建桥的呢:




说到这里,不妨多说几句。高斯函数的一种很好的近似是B-样条函数。当次数趋向于无穷的时候,在适当的标准化下,B-样条函数趋向于高斯函数。由于高斯函数的支集是无限的,而B-样条函数支集是有限的。因此,很多论文探讨在计算的时候将高斯函数替换为B-样条函数之后的效果。

泊松求和公式被很多数学家认为是数学里面最美的求和公式。泊松求和公式大意是一个函数在所有整数点的和等于其Fourier变换在所有整数点的和。由此可以导出无数漂亮的公式。有时间我会写一下泊松求和公式与小高斯当年计算1+2+...+100和的关系。在泊松求和公式中,我们又看到了Fourier变换。天,难道能和Fourier变换扯上关系的都会注定有贵族的血统吗?

拱桥



http://wap.sciencenet.cn/blog-240898-610234.html

上一篇:“压缩感知”是什么?
下一篇:样条空间维数传奇

7 柳林涛 李学宽 莫一鸣 wvvw mathqa tsunami123 zhuangzhitao

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (14 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2021-1-17 13:50

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部