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那些近期被解决的数学猜想...(2012年8月16日更新版) 精选

已有 8269 次阅读 2012-1-18 14:41 |个人分类:数学故事|系统分类:科研笔记| 数学, 矩阵, 猜想, 多面体


数学发展的速度似乎是惊人的。几乎每隔一段时间,我都能看到自己曾经关注的一个猜想被解决。它们或许不像庞加莱猜想那么绚烂夺目,但其在各自的领域里,也是非常引人关注的。我这里列举几个近期被解决,或者可能已经被解决的,猜想。


1. Hirsch 猜想

Hirsch 猜想是 1957 年针对线性规划中单纯形算法复杂度提出的(参考1000个科学难题,数学卷,袁亚湘:“凸多面体的d-步猜想”)。其描述如下:假设 P 为 d 维多面体,且面数为 n, 那么多面体 P 直径不超过n-d。这里的直径是组合意义上的: P中两个顶点的距离即指连接该两个顶点的最小边数,而 P 的直径则为 P 中两顶点之间的最大距离。2010年,来自西班牙的Santos宣布,他发现了一个 Hirsch 猜想的反例。事实上,他构造了一个 43 维具有 86 个面的多面体,然而其直径却超过43
(http://arxiv.org/abs/1006.2814)。 其证明过程借助了 polymake,它是一个专门针对多面体研制的软件。谈及该猜想的证明过程,Santos提到: 2002年, V. Klee 专门建议 Santos:为什么你不试图否证 Hirsch 猜想呢? 当然,在此之前,Klee 也给了自己的学生同样的建议。但是,Santos 并没有立刻着手去研究 Hirsch 猜想。2007 年,老数学家Klee去世。同年,Santos开始了一年的学术休假,并访问 UC Davis。在那里,他遇到了研究多面体的专家  De Loera 和 Edward D. Kim。在与他们的交流中,Santos 开始认真思索 Hirsch 猜想,并最终发现了一个反例。当然,Hirsch 猜想的故事并不会因为这一反例而终结,人们会考虑刻画多面体的直径更好的界。因为这一研究无论从任何角度看都是迷人的。

2. BMV 猜想

BMV猜想是1975年由Bessis, Moussa 和 Villani 提出的。其实是在研究量子力学中提出的问题。BMV 则实际上由三位作者姓氏的首字母组成。我曾经形象地称其为“别摸我”猜想 (看一下“别摸我”的汉语拼音,就差一点)。BMV 猜想有较多的等价描述形式。其中一个较为简单的形式如下:

假定 A 和 B 为半正定 Hermitian 矩阵。对每一个自然数 m, 多项式p(t)=Tr (A+tB)m 的系数非负。

我第一次知道 BMV 猜想是 07 年在柏林访问之时。在那里,很多来自不同领域的数学家都在关注该问题,其中包括矩阵论、逼近论、交换代数等领域的专家。这些来自不同领域的研究人员不时交流着对该问题的理解与自己所做的一些工作。我想这大抵也是数学的迷人之处,只要问题足够吸引人,为何要问属于哪个领域?

记得当时办公室有一位来自伊朗的哥们,每每遇到打击,精神沮丧的时候,就会象大家宣布:“明天早上,明天早上,我就会解决 BMV 猜想”。然后在大家低笑声中扬长而去。然而,这句话却可以令他象打了兴奋剂一样,精神面貌立时焕然一新。当然,第二天早上,太阳依旧从东方升起,BMV 猜想依旧在那里。然而,2011年7月, 一位柏林的退休老教授 H. Stahl,在 arXiv 上贴了一篇长文 http://arxiv.org/abs/1107.4875,宣称其解决了BMV 猜想。由于 H. Stahl  已经退休,论文留下的联系地址只是其家庭住址。Stahl 曾经在逼近论中证明了一些深刻的结果,这使得我相信他对 BMV 猜想的证明是严肃的。当然,该文目前还没有发现错误,但离最终被确认尚有一段距离。

3. Fuglede 猜想

Fuglede 猜想是 1974 年由 Fuglede 提出,也称之为谱集猜想。其描述如下:假定  是  中的一个区域。我们称   可铺满 , 如果存在一个集合 , 使得,且这些平移之间两两交集为空 .  此外,我们称 集合 是    的一个谱,如果  组成 的一个正交基。那么,Fuglede 猜想为

  具有一个谱如果和仅仅如果   能铺满整个  .

Fuglede 本人首先对一些特殊情况,例如假定 T 是一个格子点集合,证明了该猜想。这一猜想将离散几何、分析等学科紧密结合在一起,且在采样理论中具有很强的背景。因而,吸引了多个不同领域的人的关注。在很长一段时间里,人们认为该猜想离
最终解决还很远 (包括 T. Tao 本人亦在论文中表达过类似的观点)。然而,2003年,借助 Hadamard 矩阵,在一篇8页的文章中,T. Tao 构造了一个反例,表明对于5维及以上情形,Fuglede猜想是错误的 http://arxiv.org/abs/math/0306134。这可能是 Tao 最好的工作之一。随后,人们将这一方法扩展到4维及3维,表明Fuglede 猜想在3,4 维也是错误的。但对于1,2维,Fuglede猜想仍无定论。值得注意的是,在解决这一问题中,Tao主要用了Hadamard 矩阵的结果。Hadamard 矩阵在组合设计及矩阵论等领域备受关注。而关于Hadamrd矩阵的猜想,亦是另外一个值得关注的问题 (http://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_matrix)。

4. Spherical t-design 猜想
球面布点问题常见于数学的各个分支。虽然在不同分支里,需要寻找的球面点并不相同,但难度却都大致相当:都是极端困难的。这也许和球面本身的特点有关。与平面布点相比,球面布点多了更多的约束。因为球面是自封闭的。因而,一般而言,遇到在球面上找满足一些条件的点的时候,通常都会比较困难。当球面布点遇到数值积分,便产生了球t-设计问题。

数值积分一直是大家所关注的一个研究课题,人们已经从数论、随机算法、正交多项式等各个方面对其进行了研究。球面上的数值积分自然也分外引人关注。其基本问题是在球面上找N个点x1,x2,...,xN使其满足
$\int_{S^d}P(x)dx=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^NP(x_j)$
对所有次数不超过 t 的多项是 P 均成立。此时,人们称点x1,x2,...,xN 为球t-设计。自然,人们希望构造出x1,x2,...,xN。
但是,在此之前,需要首先考虑球t-设计存在性问题。1993年,Korevaar 和 Meyers 猜想当$N\leq C_d t^d$ 存在球t-设计。
随后,人们对这一猜想进行了多番研究。2010年,几个年轻人用不动点的方法解决了该猜想:http://arxiv.org/abs/1009.4407 。他们的证明亦对球t-设计的构造提供了一种思路。



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