“数论”的一些新的革命性发展

中国科学院  力学研究所  吴中祥

                          提          要

各种“数”都是从一切实际事物的数量和顺序中抽象出来的概念，并通过实践，逐个对其变化规律，逐次比较、区分、联系，加深认识，而发展的。

由于仅由2次根式，表达-1和任意正整数的任意n次根式，才能，也即能，以实数、虚数、复数表达所有的数，由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数表达，所有的无理数都才是，也只是，由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。

有了表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的方法，就能，类似地利用现有的各种解析运算方法，具体发展素数和素数复数的代数和解析运算方法。

使数论和解析数论革命性地发展。

1．“数”的基本特性

“数”最基本的特性是可数性、可列性。

“数”是从一切事物中抽象出来的，它的可数性、可列性也正是联系到各种事物本身的可数性、可列性。

2．任何事物是否“可数”？就必须具有如下两个基本条件：

(1)它们必须是“同类”的事物。

(2)必须确定同一的“单位”

当然，有时也可将某些事物，甚至是不同类的事物，组配成“套”、“团”或“堆”，作为单位，这类成“套”、“团”或“堆”的相应事物，就也按此单位可数了。

(3)各种“数”本身却是与事物的种类、性质、单位都无关

但是，既已抽象为“数”之后，各种“数”本身就与事物的种类、性质、单位都无关，它们所表达的事物种类、性质、单位等等都需另外注明。

3．任何事物怎样才是可列的？

只有该事物是可数的，而且确定了它们的“排列顺序”的基本原则，例如：数值、体积、重量、大小，先后、高低、好坏，等等之后，才是可列的。

对于“数”，一般就只是分别对同类的数，相同的单位，按数值大小的排列顺序，才是可列的。对于不同类的数，甚至某类不同单位的数，也是不可列的。

当然，如果将稍大于0；且稍小于1的，全部实数或虚数，整体作为单位，那么，整个实数轴或虚数轴上的各数就也都是按此单位可列的了。

   自然数的顺序和数值是已经从客观事物中，抽象出时就确定了的。但是，由它产生的其它各数的顺序和数值就还需具体确定。

4. 各种“数”的产生和发展

只要有了“单位”，就有了“1”

最基本的数，是“正整数”中的“自然数”：1、2、3、…、n，

各种“数”都有：加、减、乘、除的4则运算。由它的加法，就产生不断增大的数，无限增加，就产生了“无穷大”。

由它的减法，同等大小的数相减，就产生了“0”，被减数小于减数，就产生了各个“负整数”乃至“负无穷大”

由它的乘法，就产生了“乘方”、“开方”，“指数”、“对数”，开方而不能去掉根号，就产生了“无理数”。

由它的除法，不能得出整数的，就产生了“分数”，被除数小于或大于除数，就产生了“真分数”或“带分数”，按10进制，就产生了“小数”，其小于1的部分形成循环的，就是“循环小数”，无限循环的，就是“无限循环小数”。

有些“分数”可以等于相应的“小数”，有些“分数”只能趋近于但并不等于相应的“小数”。

可被或不可被“2”整除的整数，就区分为“偶数”或“奇数”。

除“1”和其自身外，可被或不可被整除的整数，就区分为“合数”或“素数”。

还有，常数、变数、函数之分，而有“代数”，都有相应的各种运算规则。

微小的变数、函数还形成相应的“微分”，乃至相应的“无穷小”，而由事物的相应的变化规律，形成各种代数、微分和偏微分方程式。

5，实数的“偶数”、“奇数”、“合数”、“素数”的相互关系，及正负实数或正负虚整数“歌德巴赫猜想”的证明

可被或不可被“2”整除的整数，就区分为“偶数”或“奇数”，

因而，可采用整数m，以2m顺序表达各“偶数”；以2m+1顺序表达各“奇数”除“1”和其自身外，可被或不可被整除的整数，就区分为“合数”或“素数”，

因而，可采用整数m，以j(m) 顺序表达各“素数”.

分数和小数，也都能由其数值确定其序数。

按素数的特性，有：j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数，这也就是判定j(m)是素数的基本条件。

就可以按序，m，列表，具体确定各个素数，j(m)，的数值，并可以确定，

r(m,1)=j(m+1)-j(m)，例如：

m     　1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15 ………

j(m)  　2  3  5  7  11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 ………

r(m,1)　1　2　2　4　2　4　2　4　6　2　6　4　2　4　… … …

2006年1月4日，美国密苏里州堪萨斯城官员宣布：

2005年12月中旬，史蒂文·布恩领导的的美国密苏里州立中央大学研究小组和数学教授柯蒂斯·库珀，花了多年时间给700部电脑编程，得出迄今最大素数：它有910万位，被称为梅森数M30402457，即：2^(30402457)-1。

“梅森数”即：MP=2^P-1，其中P是素数。但需注意并非所有的“梅森数”都是素数！

德国《焦点》周刊网站2008年9月16日报道：

美国洛杉矶以加州大学的埃德森。史密斯为首的研究小组，2008年8月23日，发现的梅森数M43112609，即：2^(43112609)-1。超过了1200万位。

国际素数搜索项目“互联网梅森素数大搜索（GIMPS）”经复核验算证实这两个数都是素数。

   任何素数，j(m)，的数值和序号都可计算确定。

除j(1)=2，为“偶数”外，所有的j(m)； m>1的“素数”，都是“奇数”。

而且，所有的“偶数”+“偶数”=“偶数”，所有的“偶数”+“奇数”=“奇数”，所有的“奇数”+“奇数”=“偶数”，

对于正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数)，就容易地，简单地直接地完全证明:

“除2以外，的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”，或=3个“奇数”相加”，还可以扩展为：“除2以外，的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”，或=奇数个“奇数”相加。

而且，

偶数6= j(2)+j(2)，而对于大于6的所有偶数，

当偶数2m=j(m-s)+j(m-s‘)；s，s’=1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性，j(m)/j(m-k)；k=1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定，至少必有如下的1种情况是素数：

2(m+1)-j(m-k)=j(m+1-k‘)；k=1,2,…,或m-1。

如此逐次，增大 m，就证明了，大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们

奇数7= j(1) +j(1)+j(2)，而对于大于7的所有奇数，

当奇数2m+1=j(m-s)+j(m-s’)+j(m-s“)；s,s’，s“=1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性，j(m)/j(m-k)；k=1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定，至少必有如下的1种情况是素数：

2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k’)=j(m+1-k“) ；k,k’，k“=1,2,…,或m-1。

如此逐次，增大 m，就证明了大于7的所有奇数都至少有3个素数相加，等于它们。

对于m>3 的任意偶数，2m，由下表具体分析，可知，例如：

m   2m   j(m)  j(m1)+j(m2)     m1    m2

2   4    3

3   6    5         3+3         2      2

4   8    7         3+5         2      3

5   10   11   3+7  5+5         2,3    4,3

6   12   13   5+7              2      4

7   14   17  3+11  7+7         2,4    5,4

8   16   19  3+13 5+11         2,3    6,5

9   18   23  5+13 7+11 、      3,4    6,5

10  20   29  7+13               4      6

11  22   31  3+19 5+17         2,3    8,7

12  24   37  5+19 7+17         3,4    8,7

13  26   41  3+23 7+19         2,4    9,8

14  28   43  5+23              3      9

15  30   47  7+23 11+19        4,5    9,8

对于m>3 的任意奇数，2m+1，由下表具体分析，可知，例如：

m  2m+1   j(m)  j(m1)+j(m2)+j(m3)         m1    m2     m3

2   5  3

3   7  5         2+2+3                     1      1     2

4   9  7         3+3+3                     2      2     2

5  11 11   2+2+7  3+3+5                    1,2    1,2   4,3

6  13 13   3+3+7  5+5+3                    2,3    2,3   4,2

7  15 17   3+5+7  5+5+5                    2,3    3,3   4,3

8  17 19   3+3+11 5+5+7 7+7+3              2,3,4  3,3,4  5,4,2

9  19 23   3+3+13 3+5+11 7+7+5             2,2,4  2,3,4  6,5,3

10 21 29   3+5+13 5+5+11 7+7+7             2,3,4  3,3,4  6,5,4

11 23 31   2+2+19 3+3+17 3+7+13            5+5+13 1,2,3 1,2,3 8,7,6

12 25 37 3+3+19 3+5+13 7+7+11 11+11+3      2,2,4,5 2,3,4,5 8,6,5,2

13 27 41 2+2+23 3+5+19 3+7+17 7+7+13 11+11+5 1,2,2,4,5 1,3.4,4,5 9,7,6,3

14 29 43 3+3+23 3+7+19 3+13+13             2,2,2, 2,4,6, 9,8,6

5+5+19 11+11+7               3,5    3,5    8,4

15 31 47 3+5+23 3+11+17 5+7+19 5+13+13     2,2,3,3 3,5,4,6 9,7,8,6

也都得到具体验证。以此类推，m更大的任何偶数  和奇数也都能成立。

因而，对于，正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数)，就已简单、直接地完全证明了：大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们，或大于7的所有奇数都至少有3个素数相加，等于它们，的“歌德巴赫猜想”。完全无需引进复数的“圆法”、“筛法”的复杂运算，而至今尚不能完全证明。

特别是，分别给出了偶数，2m，和奇数，2m+1，随着m改变到m+1，由素数，j(m),、j(m-k)； k=1,2,…,k-1，表达的变化规律，对研究素数特性，乃至发展数论、解析数论，都有重要作用。

6.对素数其它有关特性的研讨

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，就不仅能直接地完全证明歌德巴赫猜想(A和B)，而且，能全面研讨素数的各种特性，例如：

(1) 具体顺序表达各自然数、偶数和奇数

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，就能：

由 素数j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k),  其中，k从1,2,…,s，s从2,3,…,任意大整数，指数，a(1),a(2) ,…, a(k)依次单独从1,2,…, s，=1，而其它指数均=0，直到往返重复s-1次，则，k=s从2,3,…,任意大整数，就可依次顺序表达，除1外的全部自然数，n。

   或级数，J(s)

=j(1)^s,j(2)乘j(1)^(s-1)；j(1)^s+1,j(2)乘j(1)^(s-1)+1、

j(1)(j(1)^(s-1)+1),j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(1))+1)、

j(1)(j(1)^(s-1)+1)+1, j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(1))+1)+1、

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1), j(1)^j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(2))+1)

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1)+1, j(1)^j(1)j(2) (乘j(1)^(s-j(2))+1)+1、

… … …

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1), j(1)^(s-j(1))(j(2)乘j(1)+1)、

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1)+1, j(1)^(s-j(1))(j(2)乘j(1)+1)+1； s=1,2,…, (任意大的整数)。

就可依次顺序表达，除1外的全部自然数，n。

   类似地，

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k))表达，除2外的全部偶数，2n。

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k))+1表达，除1和3外的全部奇数，2n+1。

r(m,s)=j(m+s)-j(m)，除m=1；s=1时，r(1,1)=1，是奇数，而外，其他所有m大于1的r(m,s)，都是偶数。而有：

r(m,1)=j(m+1)-j(m)，

r(m+1,1)=j(m+2)-j(m+1)，

r(m+1,1) + r(m,1) =j(m+2)- j(m)，

r(m,s)=j(m+s)-j(m)，

r(m+s,1)=j(m+s+1)-j(m+s)，

r(m+s,1) =j(m+s+1)- j(m) - r(m,s)，

j(m+s+1) =r(m+s,1) + r(m,s) + j(m)，

(2) 孪生素数

孪生素数是指差为2的素数对，即p和p+2同为素数。

前几个孪生素数分别是：

（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。

100以内有8个孪生素数对；501到600间只有两对。随着数的变大，可以观察到的孪生素数越来越少。

2011年，人们发现目前为止最大的孪生素数共有20多万位数。但这个数后面再多找一对孪生素数都要花至少两年的时间。

几百年前就有无穷多个孪生素数的猜想，但至今人们都不知如何证明这个猜想。

2013年5月14日，《自然》在“突破性新闻”栏目里，宣布一个数学界的重大猜想被敲开了大门。

5月18日，《数学年刊》诞生了创刊130年来最快接受论文的纪录。

华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章，证明了存在无数多个孪生素数对（p,q），其中每一对素数之距离，不超过七千万。

世界震动了！

5月20日，《纽约时报》大篇幅报道了这个华人学者的工作。

文中引用了刚刚卸任《数学年刊》主编职务的彼得·萨纳克的讲话：“这一工作很深邃，结论非常深刻。

”5月22日，老牌英国报纸《卫报》刊登文章，文章的标题是：鲜为人知的教授在折磨了数世纪数学精英的大问题上迈进了一大步。

印度主流报纸把作出这一非凡贡献的人，与印度历史上最伟大的天才数学家拉马努金相媲美。

存在无数多个素数对，其中每一对素数之差值，如何估算？

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，这问题即：

当j(m+s)= j(m)+r，j(m+s+1)=j(m+s)+2，r=？

并有：j(m+s)/j(m+s-k); k=1,2,…,m+s-1,都不是整数，j(m+s+1)/j(m+s+1-k); k=1,2,…,m+s,都不是整数。

因此，即有：r(m,s) =j(m+s)-j(m)，也就是，对于任何确定的m和s，就完全能确定r(m,s)，例如：

M=2，s=5， j(m)=3，j(m+1)=5，j(m+s)=11，j(m+s+1)=13，r(m,s)=8=j(m+s)-j(m)，

M=2，s=7， j(m)=3，j(m+1)=5，j(m+s)=17，j(m+s+1)=19，r(m,s)=15=j(m+s)-j(m)，

M=7，s=26，j(m)=17，j(m+1)=9，j(m+s)=101，j(m+s+1)=103，r(m,s)=86=j(m+s)-j(m)，

M=7，s=28 ，j(m)=17，j(m+1)=9，j(m+s)=107，j(m+s+1)=109，r(m,s)=92=j(m+s)-j(m)，等等。

显然，只要按表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，确定了：j(m)，j(m+1)，j(m+s)，j(m+s+1)都是素数，而且，j(m+1)-j(m)=2，j(m+s+1)-j(m+s)=2，就可以由j(m+s)、j(m)或j(m+1+s)、j(m+1)的数值完全确定：r(m,s)=j(m+s)-j(m)，或r(m,s)=j(m+1+s)-j(m+1)，就不仅能估计r(m,s)＜某数的范围，而是能完全确定r(m,s)的具体数值。而j(m+s)、j(m)、j(m+1+s)、j(m+1)，都是有限的数值，当然，r(m,s)就只是小于j(m+s) 或j(m+1+s)的有限数值。

类似地，还可研讨有关素数的更多特性。

7.任意n次不可约代数方程仅引进2次根式的公式解

仅引进2次的根式，不致于产生-1的高于2次的根式，而能仅以实数、虚数或复数表达，全面、具体给出任意n次不可约代数方程的确切的公式解，以及各高次更简化的解法，和一些相应的实例。

(1) 任意3次不可约代数方程，仅引进2次根式，的3个公式解。

y^3+b1y+b0=0，

y1=-b1/2+(b1^2/4-b0)^(1/2),  y2=-b1/2-(b1^2/4-b0)^(1/2),  y3 =-(y1+y2)=b1，

(2) .任意4次不可约代数方程，仅引进2次根式，的4个公式解。

x^4+a2x^2+a1x+a0=0， a2= -a1^2+(1/4+a0)^(1/2),        

x1=-a1/4+(a1^2/16-((1/4+a0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2),

x2=-a1/4-(a1^2/16-(1/4+a0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),

x3=a1/4+(a1^2/16-((1/4+a0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2)

x4= a1/4-(a1^2/16-((1/4+a0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),

(3.) 任意5次不可约代数方程，仅引进2次根式，的5个公式解。

x^5+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,由：

(x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0)(x’-x) =x’^5+(a’3-x)x’^4+(a’2-xa’3)x’^3+(a’1-xa’2)x’^2+(a’0-xa’1)x’-xa’0=0,  表达。

有x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,    (1) 注意：a3不=0，

取x=y-a3/4,

使(1) 成为：b3=0，的y^4+b2y^2+b1y+b0=0，         (1’)

b2=6 (a3/4)^2-3a3^2/4+a2

b1=-4(a3/4)^3+3a3(a3/4)^2-a2a3/2+a1

b0=(a3/4)^4-a3 (a3/4)^3+a2(a3/4)^2-a1a3/4+a0

:

y1=-b1/4+(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2),

y2=-b1/4-(b1^2/16-(1/4+b0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),

y3=b1/4+(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2)

y4= b1/4-(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),

 相应地代回，得到的原5次方程的xj；j=1,2,3,4,

将它们代入原5次方程根与系数的1个关系式x5=-a0/(x1x2x3x4)，即得：x5仅由此5次方程各系数,表达的解。 

(4.) 任意6次不可约代数方程，仅引进2次根式，的6个公式解。

x^6+a4x^4+a3x^3+a42x2+a1x+a0=0,

x1= a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0,

x2=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)/2

  +((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4

    -(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

x3=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)/2

  -((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4

    -(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

x4= a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0),

x5=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))/2

  +((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4

   (a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

x6=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))/2

  -((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4

   (a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

(5) 任意7次不可约代数方程，仅引进2次根式，的7个公式解。

x^7+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,由：

(x’^6+a’5x’^5+a’4x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0)(x’-x)=

x’^7+(a’5-x)x’^6+(a’4-xa’5)x’^5+(a’3-xa’4)x’^4+(a’2-xa’3)x’^3+(a’1-xa’2)x’^2

+(a’0-xa’1)x’-xa’0=0,  表达。

而有x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,    (1)  注意：a5不=0，

取x=y-a5/6,

使(1) 成为：b5=0，的y^6+b4y^4+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0， (1’)

b4=15(a5/6)^2-5a5^2/6+a4

b3=-20(a5/6)^3+10a5(a5/6)^2-4a4a5/6+a3

b2=+15(a5/6)^4-10a5(a5/6)^3+6a4(a5/6)^2-3a3a5/6+a2

b1=-6(a5/6)^5+5a5(a5/6)^4-4a4(a5/6)^3+3a3(a5/6)^2-2a2a5/6+a1

b0=+(a5/6)^6-a5(a5/6)^5+a4(a5/6)^4-a3(a5/6)^3+a2(a5/6)^2+a2(a5/6)^2

+a2(a5/6)^2+a0

仅需引进2次根式，即可解出6次方程，(1’) ，各个解，也即是此7次方程仅由方程各系数表达的，yj；j=1,2,3,4,5,6，6个解。

y1= b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0,

y2=-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)/2

  +((b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)^2/4

    -(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

y3=-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)/2

  -((b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)^2/4

    -(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

y4= b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0),

y5=-(b4-(b2a1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))/2

  +((b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))^2/4

   (b0/(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

y6=-(b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))/2

  -((b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))^2/4

   (b0/(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

   相应地代回，得到原7次方程的xj；j=1,2,…,6,

将它们代入原7次方程根与系数的1个关系式x7=-a0/(x1x2…x6)，即得：x7仅由此7次方程各系数,表达的解。 

这就仅需引进2次根式，即可解得7次的不可约代数方程的公式解。

由此类推，就仅需引进2次根式，即可解得任意n次的不可约代数方程的公式解。

经适当变换，此法还可用于解微分方程和偏微分方程。

8.负数的开方，“虚数”与“实数”的区分，“复数”和“共轭复数”

任何负数，-A=-1乘A，负数，-A开n次方(-A)^(1/n)=(-1)^(1/n) 乘A^(1/n),

    (-1)开2次方, (-1)^(1/2) 就是“虚数符”，i，负数，-A开2次方(-A)^(1/2)=i乘A^(1/2),

任何的数，有或没有虚数符，i，就区分为：“虚数”或“实数”。

“复数”，A，就是实数A1加虚数iA2，复数A=A1+iA2。

相应的“共轭复数”A*=A1-iA2。

由于，也只有，解决了n次方程，x^n+1=0,仅引进2次根式的解，(-1)^(1/n)，就都能，也才能，由相应的实数、虚数或复数的相应组合表达，例如：

(-1)^(1/3)由 -1, 1/2+i3^(1/2)/2, 1/2-i3^(1/2)/2的相应组合表达。

(-1)^(1/4)由-1/2+ i(3/4)^(1/2), -1/2- i(3/4)^(1/2),1/2+ i(3/4)^(1/2), 1/2- i(3/4)^(1/2)的相应组合表达。

(-1)^(1/5)由-1, -1/2+ i(3/4)^(1/2), -1/2- i(3/4)^(1/2) ,

1/2+ i(3/4)^(1/2), 1/2- i(3/4)^(1/2)的相应组合表达。

(-1)^(1/6)由 + i, - i, (+i +3^(1/2))/2, (+i -3^(1/2))/2, (-i +3^(1/2))/2, (-i -3^(1/2))/2,的相应组合表达。

(-1)^(1/7)=+1, -1, + i, - i, (+i +3^(1/2))/2, (+i -3^(1/2))/2,

                     (-i +3^(1/2))/2, (-i -3^(1/2))/2,的相应组合表达。

由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数的相应组合表达，所有的无理数都才是，也只是，由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。例如：

(a)^(1/3)由-1，+(a)^(1/2)，-(a)^(1/2)，的相应组合表达。

a^(1/4)由+i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2)，的相应组合表达。

a^(1/6)由+ i, - i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2), +1,-1, +i(a)^(1/2), -i(a)^(1/2)，的相应组合表达。

a^(1/5)由1, +i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2)，的相应组合表达。

a^(1/7)由+ i, - i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2), +1,-1, +i(a)^(1/2), -i(a)^(1/2) ，的相应组合表达。

9. 复数与相应的“共轭复数”相乘、复数除以复数，及复数“歌德巴赫猜想”的证明

复数A，A1+iA2，与相应的“共轭复数”A*，A1-iA2，相乘=相应的实数，A1^2+A2^2。

复数A/复数B=(A1+iA2)/(B1+iB2)=(A1+iA2)(B1-iB2)/(B1^2+B2^2) =(A1B1-A2B2)+i(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)。

只有“复数”，F=F1+iF2，的实部与虚部，即：F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)，都是整数，成为N=N1+iN2，才是整数，N。

只有“复数”，F=F1+iF2，的实部与虚部，即：F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)，除2都是整数，M=M1+iM2，才是偶数,以2M表达。

只有“复数”，F=F1+iF2，的实部与虚部，即：F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)，除2都不是整数，M=M1+iM2，才是奇数,2M+1表达。

只有J(m)=J(m)1+iJ(m)2除以J(m-k)=J(m-k)1+iJ(m-k)2；k=1,2,…,m-1，的实部与虚部，

J(m)1=(J(m)1J(m-k)1-J(m)2J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2) 与J(m)2=(J(m)2 J(m-k)1- J(m)1J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2)，都不是整

数，才是“复数”素数，以J(m)=J(m)1+iJ(m)2，表达。

因而，对于复数，要证明除2以外，的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”，或=3个“奇数”相加，或扩展为：“除2以外，的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”，或=奇数个“奇数”相加”，以及大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们，大于7的所有偶奇数都至少有3个素数相加，等于它们，的“歌德巴赫猜想”，就必需，也仅需，要求相应的各“复数”都满足以上的条件。否则，就不能证明。

类似地，对于“复数”孪生素数有关特性的证明，也必需，且仅需，要求相应的各“复数”都满足以上的条件。否则，就不能证明。

大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们，

10.0和无穷大是特殊的数

0是特殊的整数它和无穷大，与其它数的4则运算都不相同。

任何其它数A+0=A， A-0=A， Ax0=0， A/0=无穷大，

0无正、负之分别，其与其它任何数4则运算结果的正负都有其它数的正负决定。

任何其它正、负数A+正无穷大都=正无穷大、

任何其它正、负数A+负无穷大都=负无穷大、

任何其它正、负数A-正无穷大都=负无穷大、

任何其它正、负数A-负无穷大都=负无穷大、

任何其它有限数A /无穷大，都=0，

任何有限数/0=无穷大、任何有限数/无穷大=0、使得无穷大和0产生不同的级别，

任何有限数/(n级0)=n级无穷大、任何有限数/(n级无穷大)=n级0

n级无穷大/(n’级0)=(n+n’)级无穷大、n级0/(n’级无穷大)= (n+n’)级0，

以此类推，产生各高级的无穷大和0，并有：

任何有限数 =(n级0) 乘 (n级无穷大)=(n级无穷大) 乘 (n级0)、

n级无穷大乘 (n’级0)=(n - n’)级无穷大、

n级0乘 (n’级无穷大)=(n - n’)级0 ，

0无正、负之分别，其与其它任何数4则运算结果的正负都由其它数的正负决定。

无穷大与其它非0的数乘、除结果的正负，仍按正正为正，负负为正，正负为负，负正为负。

11．关于连续性

首先，任何随某个参量, x, 变化的事物某种特性, f(x), 应是一一对应的。x就是变量，f(x) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量的函数是否连续？

其次，严格地说，应该有两个一一对应的无限小，a 和b。所谓无限小就是小于任意小，可以小到趋近于0，但又不=0，的正数。

若x 改变a；则f(x)改变b，当x趋近于 c时，存在对应的f(x) 并且= f(c)，就称：x = c 时，f(x) 连续。

但是，对于某些实际情况，例如：化合物、合金、溶液等整体的连续性，所取的任意小就可以不必真正趋近于0，而实际上只需趋近于稍大于其中各原子的尺度，或视觉上近于0，即可。

对于各种事物的各种特性，对应的x 可以是时间、长度、体积，甚至速度、温度等等不同的量。就都类似地相应反映各该事物该特性对于这些量相应的连续性。

对于“数”，就要考虑到各类不同的“数”，例如：有理数（整数、分数（小数、循环小数））、无理数、实数、虚数、复数等等。而且所有的正、负实数，都包括，全部有理数和无理数相互穿插，按数值大小顺序排列地表达在一个实数轴上；所有的正、负虚数，包括顺序排列的全部虚有理数和虚无理数，也都可包括，全部有理数和无理数相互穿插，按数值大小顺序排列地表达在一个与实数轴正交的虚数轴上；而全部相应的复数，就是此实数轴与虚数轴所组成的平面上相应的各点。

考虑“数”的连续性，对实数轴与虚数轴所采用的任意小就必须是真正趋近于0才行，因此，只能对全部实数、虚数、复数进行，而不可能分别对有理数（或整数、分数（或小数）或无理数进行。

12. 素数和复数素数的微分和积分，解析数论的发展

序数为从m到m+1的变量，x，的正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数)，素数，j(x)，的微分，dj(x) ，按其基本性质，应是：

d(j(x)/j(x-k))=dj(x)/j(x-k)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)^2，即应是：

dj(x)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)；k=1,2,…,x-1,

序数为为从m到m+1的变量，x，的的复数素数，J(x)=J(x)1+iJ(x)2，的微分，dJ(x)=dJ(x)1+idJ(x)2，的

实部应是：

dJ(x)1=d((J(x)1J(x-k)1-J(x)2J(x-k)2)/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2))

     =(dJ(x)1J(x-k)1+J(x)1dJ(x-k)1+-dJ(x)2J(x-k)2--J(x)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)

      -2((J(x)1J(x-k)1-J(x)2J(x-k)2)

        (J(x-k)1dJ(x-k)1+J(x-k)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)^2；k=1,2,…,x-1,即应是：

(J(x-k)1^3+J(x-k)1J(x-k)2^2)dJ(x)1

-(J(x-k)1^2J(x-k)2+J(x-k)2^3)dJ(x)2

+(-(J(x)1J(x-k)1^2+(2J(x)2J(x-k)1+J(x)1J(x-k)2)J(x-k)2)dJ(x-k)1

+(-(2J(x)1J(x-k)2+J(x)2J(x-k)1)J(x-k)1+J(x)2J(x-k)2^2)dJ(x-k)2；k=1,2,…,x-1,

虚部应是：

dJ(x)2=d((J(x)2J(x-k)1-J(x)1J(x-k)2)/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2))

     =(dJ(x)2J(x-k)1+J(x)2dJ(x-k)1-dJ(x)1J(x-k)2-J(x)1dJ(x-k)2)

        /(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)

      -2(J(x)2J(x-k)1-J(x)1J(x-k)2)

        (J(x-k)1dJ(x-k)1+J(x-k)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)^2；k=1,2,…,x-1,即应是：

(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)J(x-k)1dJ(x)2

-(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)J(x-k)2dJ(x)1

+(-J(x)2J(x-k)1^2+(2J(x)1J(x-k)1+J(x)2J(x-k)2)J(x-k)2) dJ(x-k)1

+(-(2J(x)2J(x-k)2+J(x)1J(x-k)1)J(x-k)1+J(x)1J(x-k)2^2) dJ(x-k)2；k=1,2,…,x-1,

   这样，有了表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的如上方法，就能，类似和利用现有的各种解析运算方法，分别由j(x)，的微分，dj(x) ，和复数素数，J(x)=J(x)1+iJ(x)2，的微分，dJ(x)=dJ(x)1+idJ(x)2，和x从m到m+1的积分，具体发展素数在的解析运算方法。

13. “数”本身的特性和规律对客观事物的有关特性和规律的认识和利用

“数”是从客观事物中抽象出来的，它本身的特性和规律，也必然符合客观事物的有关特性和规律，并促进对客观事物的有关特性和规律的认识和利用。例如：

各种“数”，正负数，整数、分数、小数，偶数、奇数，合数、素数，实数、虚数、复数，的产生与区分。

分数与无循环小数相等；而只是趋近于循环小数。

0和无穷大的特殊运算规律。

微分、无穷小，和相应的积分。

对素数的排序、数值的确定及其与其它数类，特别是，偶数、奇数，的相互关系。

各种方程的解，任何n次方程都可仅引进2次根式而得解。

即使方程的系数是复数，也可分解为实、虚2个方程分别求解。

任何高次的根式都能由2次根式的组合，即实数、虚数和复数表达。

一切无理数都可由素数的2次根式表达。

以及进而，与各种事物中抽象出的各种维数的“形”而产生的几何、3角、解析几何、微分几何，等特性和规律的研究、发展。

特别是，其中有关的关键性的科学认识和发展，必将促进对一切事物的特性和运动规律的科学认识的革命性发展。