-1和任意正整数的任意n次根式

中国科学院力学研究所吴中祥 

提           要

具体给出了仅由2次根式，表达-1和任意正整数的任意n次根式。由于-1的任意n次根式都能以-1的2次根式表达，才能，也即都能，以实数、虚数、复数表达，由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数表达，所有的无理数都才是，也只是，由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。

引言

   通常认为：任意n次代数方程，除常数项系数，a0，外，其它均为0，可得到其根式解为(-a0)^(1/n)。

但是，一般而言，任意负实数，-s，的n次根式，(-1)^(1/n) s^(1/n), 就产生了以(-1)^(1/n)所标志的各自与实数不同的数类。

当n=2，(-1)^(1/,2)就被定义为i，标志该数是所谓“虚数”。

但是，当n=非2的其它数，只有分别得到含有(-1)^(1/n)和(-1)^(1/2)的解后，才能得出(-1)^(1/n)为(-1)^(1/,2)相应的复函数的相应组合。

这就表明：如果在方程的变换中，出现n大于2的的(-1)^(1/n)，就不能仅由实数、虚数，或复数而得解。实际上，含有-1的高于2次根式的解，并非确切的解。

因而，只有仅引进2次的根式，解得任意n次不可约代数方程时，不致于产生-1的高于2次的根式，也才，可得到，能仅以实数、虚数或复数表达的确切的解。才能得到仅以实数、虚数或复数的相应组合表达-1的任意n次根式。

本文按“任意n次不可约代数方程仅引进2次根式的普遍公式解”具体给出仅以2次根式表达-1和任意正整数的任意n次根式。。

   因而，由于-1的任意n次根式都能以-1的2次根式表达，才能，也即都能，以实数、虚数、复数的相应组合表达，由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数的相应组合表达，所有的无理数都才是，也只是，由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。

1.(-1)^(1/2)

y^2=-1,  y=+,-(-1)^(1/2)=+,-i,

   即：(-1)^(1/2)可由+,-i,表达。

2. (-1)^(1/3)

y^3=-1, 它的3个根与系数间有如下关系式：

y1+y2+y3=0， (1)   y1=-(y2+y3)， (a’)

y1(y2+y3)+y2y3 =0,  (2)   y1y2y3+1=0，  (3)

y1^3+1=0, 即是y1满足原方程 y1=(-1)^3 = -1，(a)

   由(1)与 (3)又有：

y2=(-y1+或-(y1^2+4/y1)^(1/2))/2,y3=(-y1-或+( y1^2+4/ y1)^(1/2))/2,

  将(a)代入上2式，有：

(y2-1/2)^2=-1^2/4+1,即：y2^2-y2-1=0,  y2=1/2+,-i3^(1/2)/2,  (b)

(y3-1/2)^2=-1^2/4+1,即：y3^2-y3-1=0,  y3=1/2-,+i3^(1/2)/2,  (c)

   即：(-1)^(1/3)可由-1, 1/2+i3^(1/2)/2, 1/2-i3^(1/2)/2的复函数的相应组合表达。

3. (-1)^(1/4)

x^4+1=0，引入函数y，并取：

(x^2+y)^2=x^4+2yx^2+y^2

将原方程改写为：

(x^2+y)^2 -2yx^2 +1-y^2=0, 而有：

(x^2+y)^2=2yx^2 -1+y^2,

设当上式右边成为x函数的完全平方：

2yx^2 -1+y^2=(c1x+c0)^2

由(c1x+c0)^2=c1^2x^2+2c1c0x+c0^2, 有：

c1^2= y, (1)  2c1c0=0，(2)   c0^2=y^2-1, (3)

不能取y=0，由(2)，有：c0=0，          (a)

由(3)，有：            y=1,            (b)

由(1)，有：            c1=1            (c)

而原方程可表达为：(x^2+1)^2 = x^2,  即可分解为如下2个方程：

x^2+x+1=0,   x^2-x+1 =0,              (2.1.2)

分别求解这两个x的2次方程，即得 4次方程(2.1.1)的4个根：

x1=-1/2+i(3/4)^(1/2), x2=-1/2- i(3/4)^(1/2),x3=1/2+ i(3/4)^(1/2),x4=1/2- i(3/4)^(1/2),

即：(-1)^(1/4)可由-1/2+ i(3/4)^(1/2),  -1/2- i(3/4)^(1/2),

                  1/2+ i(3/4)^(1/2),   1/2- i(3/4)^(1/2), 的复函数的相应组合表达。

4. (-1)^(1/6)

x^6+1=0，可表达为：(x^3+i)( x^3-i)=0, 即可分解为如下2个方程：

x^3+i=0,   x^3-i =0,  

y^3=+,-i,    (0)   的3个根与系数间，分别有如下关系式：

y1+y2+y3=0,   (1)  y1(y2+y3)+y2y3=0,  (2)  y1y2y3+,-i=0， (3)

y1^3+,-i=0, 即是y1满足原方程, 得到：y1=(-1)^3 = -,+i，(a)

由(1)与 (3)又有：

y1=-(y2+y3)，y2y3 =-,+i /y1，(y2+y3)^2=y1^2，(y2-y3)^2=y1^2 +,-i4/y1

y2-y3= +,-(y1^2 +,-i4/y1)^(1/2)，

y2=(-y1+或-(y1^2+,-i4/y1)^(1/2))/2,  y3=(-y1-或+( y1^2+,-i4/ y1)^(1/2))/2,

  将(a)代入上2式，有：

y2=(+或- i +或-3^(1/2))/2,  (b)  y3=(+或- i -或+3^(1/2))/2,  (c)

即：(-1)^(1/6)可由+ i, - i, (+i +3^(1/2))/2, (+i -3^(1/2))/2,

                      (-i +3^(1/2))/2, (-i -3^(1/2))/2, 的复函数的相应组合表达。

5.(-1)^(1/5)

x^5 +1=0,  其中1个根，例如x5=-1，

消去其中1个根，例如x5，即得：其它4个根，满足4次方程：x^4+1=0,  (¡)

仅需引进2次根式，即可解出4次方程，(1)的各个解，也即是此5次方程的，xj；j=1,2,3,4，4个解。即有：

x1=-1/2+i(3/4)^(1/2),  x2=-1/2-i(3/4)^(1/2),  x3=1/2+ i(3/4)^(1/2),  x4=1/2- i(3/4)^(1/2),

即：(-1)^(1/5)可由 -1, -1/2+ i(3/4)^(1/2),  -1/2- i(3/4)^(1/2),

                     1/2+ i(3/4)^(1/2),   1/2- i(3/4)^(1/2), 的复函数的相应组合表达。

6.(-1)^(1/7)

x^7+ 1=0, 其中1个根，例如x7=-1，

消去其中1个根，例如x7, 即得：其它6个根，满足6次方程：x^6+1=0,  (¡)

仅需引进2次根式，即可解出6次方程，(1) ，x的各个解，，也即是此7次方程的，xj；j=1,2,3,4,5,6，6个解。

y1,y2=(-1)^3= -,+i，y3,y4=(+或- i +或-3^(1/2))/2,  y5,y6=(+或- i -或+3^(1/2))/2,

即得：(-1)^(1/7)可由 -1, + i, - i, (+i +3^(1/2))/2, (+i -3^(1/2))/2,

                        (-i +3^(1/2))/2, (-i -3^(1/2))/2, 的复函数的相应组合表达。

以此类推，-1的任意n次根式都可以具体给出用相应的实数、虚数或复数的相应组合表达。

   对于任意正整数，a，的任意n次根式也都可以仅由相应的2次根式具体表达为相应的实数、虚数或复数的相应组合，例如：

1’.a^(1/2)

y^2=a,  有：y1=+(a)^(1/2),  y2=-(a)^(1/2),

即：a^(1/2)可由+a^(1/2),  -a^(1/2)，的复函数的相应组合表达。

2’. (a)^(1/3)

y^3-a=0, 有3个根，y1,y2,y3，消去其中1个根，例如；y1，方程成为：y^2-a=0,

即得：y2=+(a)^(1/2),  y3=-(a)^(1/2),

   y1可由方程各根与系数间的1个关系式给出，例如：y1=a/(y2y3)=-1，                      

   即：(a)^(1/3)可由-1，+(a)^(1/2)，-(a)^(1/2) , 的复函数的相应组合表达。

3’. a^(1/4)

x^4=a，x^4-a=0，引入函数y，并取：(x^2+y)^2=x^4+2yx^2+y^2

将原方程改写为：(x^2+y)^2 -2yx^2 -a-y^2=0, 而有：

(x^2+y)^2=2yx^2+a+y^2,

设当上式右边成为x函数的完全平方：2yx^2+a +y^2=(c1x+c0)^2

由(c1x+c0)^2=c1^2x^2+2c1c0x+c0^2, 有：

c1^2= y,  (1)  2c1c0=0,  (2)  c0^2=y^2+a,  (3)  不能取y=0，

由(2), 有：c0=0，(a)  由(3)，有：y=+,-ia^(1/2), (b)  由(1)，有：c1=+,-ia^(1/2)，(c)

而原方程可表达为：(x^2+,-ia^(1/2))^2 = ax^2,  即可分解为如下2个方程：

x^2+a^(1/2)x+,-ia^(1/2)=0,  x^2-a^(1/2)x-,+ia^(1/2) =0,  

两式相减，即得：x1=+i，x2=-i，

消去这2个根，方程成为：x^2-a=0, 即得：

x3=+(a)^(1/2),  x4=-(a)^(1/2),

即：a^(1/4)可由+i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2), 的复函数的相应组合表达。

4’. a^(1/6)

x^6-a=0，可分解为如下2个方程：x^3+(a)^(1/2)=0,  x^3-(a)^(1/2),=0,

它们的各3个根，y1,y2,y3，y4,y5,y6，与系数间，分别有如下关系式：

y1+y2+y3=0，y1(y2+y3)+y2y3 =0,  y1y2y3+a^(1/2)=0，                

y4+y5+y6=0，y4(y5+y6)+y5y6 =0,  y4y5y6-a^(1/2)=0，

对于方程x^3+a^(1/2)=0,消去其中1个根，例如；y1，方程成为：

y^2+a^(1/2)=0, 即得：y2=+ia^(1/4),  y3=-ia^(1/4),

   其中a^(1/4) = +i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2),

   y1可由方程各根与系数间的1个关系式求得，例如：y1=a^(1/2)/a^(1/2)=1，                      

对于方程x^3-a^(1/2)=0,消去其中1个根，例如；y4，方程成为：

y^2-a^(1/2)=0, 即得：y5=+a^(1/4),  y6=-a^(1/4),

   其中a^(1/4) = +i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2),

   y4可由方程各根与系数间的1个关系式求得，例如：y4=a^(1/2)/(-a^(1/2))=-1，                      

即：a^(1/6)可由+ i, - i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2), +1,-1, +i(a)^(1/2), -i(a)^(1/2), 的复函数的相应组合表达。

5’.a^(1/5)

x^5 -a=0,

消去其中1个根，例如x5，即得：其它4个根满足4次方程：x^4-a=0,   (¡)

仅需引进2次根式，即可解出4次方程，(1)的各个解，也即是此5次方程的，xj；j=1,2,3,4，4个解。即有：a^(1/4)= +i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2),

   而x5可由原方程根与系数的1个关系式求得，例如：x5=a/(x3x2x3x4)=1

即：a^(1/5)可由 1, +i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2) , 的复函数的相应组合表达。

6’.a^(1/7)

x^7- a=0,

消去其中1个根，例如x7，即得：其它6个根的满足6次方程：x^6-a=0,  (¡)

仅需引进2次根式，即可解出6次方程，(1)的各个解，也即是此7次方程的，xj；j=1,2,3,4,5,6，6个解。

+ i, - i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2), +1,-1, +i(a)^(1/2), -i(a)^(1/2),

   而x7可由原方程根与系数的1个关系式求得，例如： x=a/(x3x2x3x4x5x6)=1

即：a^(1/7)可由 + i, - i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2), +1,-1, +i(a)^(1/2), -i(a)^(1/2), 的复函数的相应组合表达。

任意的(-1)^(1/n)，及任意的a^(1/n)

以此类推，只要解得-1的4次和6次根式的，就能简便地解得-1的8次和12次根式的；解得-1的5次和7次根式的，就能简便地解得-1的9次和13次根式的，直到按如下重要且有趣的级数：

2,3、

4,6；5,7、

8,12；9,13、10,14；11,15、

16,24；17,25、18,26；19,27、20,28；21,29、22,30、23,31、

32,48；33,49、34,50;  35,51、36,52;  37,53、38,54,  39; 55、

      40,56;  41,57、 42,58;  43,59、44,60; 45,61、46,62; 47,63、

………

即：

2,3、

2^2,3乘2；2^2+1,3乘2+1、

2^3,3乘2^2；2^3+1,3乘2^2+1、2(2^2+1), 2(3乘2+1)；2(2^2+1)+1, 2(3乘2+1)+1、

2^4,3乘2^3；2^4+1,3乘2^3+1、2(2^3+1), 2(3乘2^2+1)；2(2^3+1)+1, 2(3乘2^2+1)+1、

2^2(2^2+1), 2^2(3乘2+1)；2^2(2^2+1)+1, 2^2乘(3乘2+1)+1、

 2(2(2^2+1)+1), 2(2(3乘2+1)+1)、2(2(2^2+1)+1)+1, 2(2(3乘2+1)+1)+1、

………

2^s,3乘2^(s-1)；2^s+1,3乘2^(s-1)+1

2(2^(s-1)+1), 2(3乘2^(s-2)+1)；2(2^(s-1)+1)+1, 2(3乘2^(s-2)+1)+1、

2^2(2^(s-2)+1), 2^2(3乘2^(s-3)+1)；2^2(2^(s-2)+1)+1, 2^23(乘2^(s-3)+1)+1、

………

2(… (s-2次) (2^2+1), 2(… (s-2次) (3乘2+1)；

2(… (s-2次) (2^2+1)+1, 2(… (s-2次) (3乘2+1)+1；、

   即可得到仅有-1和任意正整数的2次根式，表达-1和任意正整数的任意n次根式复函数的相应组合。

   因此，由于-1的任意n次根式都能以-1的2次根式表达，才能，也即都能，以实数、虚数、复数的相应组合表达，由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数表达，所有的无理数都才是，也只是，由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。